Применение теории вычетов для вычисления определенных и несобственных интегралов

Очевидно, что она является четной, поэтому Видно, что интеграл Iявляется интегралом первого типа. Перейдем к функции . Данная функция является аналитичной везде в плоскости кроме особых точек . Данные точки являются полюсами третьего порядка функции R(z). Только z1 находится в верхней полуплоскости. Применяя формулы получаем:Интегралы вида будут интегралами второго вида при условии, что является рациональной функцией со знаменателем Q(x), который не имеет действительных корней.степень знаменателя Q(x) как минимум на 1 больше степени числителя P(x).При выполнении выше изложенных условий оба интеграла являются сходящимися:При интегрировании по частям с учетом того, что получаем:Полученный интеграл сходится абсолютно, потому как у функции степень знаменателя, как минимум, на две единицы больше степени числителя. Отсюда, можно сделать вывод, что интеграл также является сходящимся. Аналогичным образом можно показать, что интеграл является также сходящимся.Получим формулы для решения интегралов такого вида.Если проинтегрировать вспомогательную функцию по контуру Ktс учетом свойств основной теоремы теории вычетов можно получить следующее:причем τ велико настолько, что все полюсы будут находиться внутри данной полуокружности. При переходе к пределу при и учитывая свойства леммы 2 Жордана получаем следующее равенство:После того, как приравниваются действительные и мнимые части, выводятся следующие формулы:в которых z1,z2, …, zk являются полюсами функции R(z), которые находятся в верней полуплоскости.Рассмотрим несколько примеров.Пример 1. Очевидно, что данный интеграл является интегралов второго вида. Знаменатель данного подынтегрального выражения не равен нулю, так как дискриминант D=4-8=-4. А также степень числителя на 1 больше степени знаменателя.Далее, рассмотрим функцию Данная функция имеет в верхней полуплоскости один простой полюс в точке По выше приведенным формулам получаем:Далее имеем:Таким образом получаем:Пример 2.Подынтегральное выражение представляет собой четную функцию, поэтому имеем:Степень знаменателя на 2 единицы больше степени числителя на всей оси действительных чисел, а также . Поэтому можно сказать, что данный интеграл относится к интегралам второго типа.Перейдем к комплексной функции R(z): Данная функция имеет один простой полюс, равный и находящийся в верхней полуплоскости.Далее получаем:Можно пояснить, что непосредственно для получения вычеты была применена формула: так как .Пример 3.Введя вспомонательнуюфункцию , заметим, что функция f(z) удовлетворяет условиям леммы Жордана, поэтому получаем:Пример 4.Введем вспомогательную функцию: . Выберем следующую кривую интегрирования: контур прямоугольника, состоящий из отрезка вещественной оси и отрезков прямых, соединяющих точки Направление обхода контура выбираем положительное.Найдем особые точки функции .Получаем: приВнутри выбранного контура находится лишь одна из особых точек: . Данная точка является простым полюсом.Поэтому согласно основной теореме о вычетах:Далее посмотрим, что ,где ,, Приводим интеграл I3 к виду:Тогда получаем: Оценивая по модулю подынтегральную функцию интеграла I2, получаем:Оцениваем интеграл I4Очевидно, что при ,и при Таким образом, получаем:Отсюда получаем искомый интеграл:ЗаключениеИнтегралы имеют важное значение во многих областях математического анализа и его приложений. Например, в теории специальных функций (цилиндрических функций, ортогональных многочленов и др.) одним из основных способов изучения является изображение функций в виде несобственных интегралов, зависящих от параметра.В данной работе рассмотрены варианты нахождения определенных интегралов с помощью теории вычетов, что позволяет в большинстве случаях сократить время и уменьшить расчеты.Были рассмотрены несколько видов несобственных интегралов и определенные интегралы от тригонометрических функций.Список использованной литературы:1 Александров и.А., Соболев В.В. Аналитические функции комплексного переменного. – М.: Высшая школа, 1984. – 192 с. 2 Алешков Ю. 3. Лекции по теории функций комплексного переменного. –СПб.: Изд-во С.-Петерб. унта. 1999. – 196 с.3 Алешков Ю. 3.,Смышляев П. П. Теория функций комплексного переменного и ее приложения. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та.. 1986.— 248 с.2 Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1969. – 240 с. 3 ВолковыскийЛ.И., ЛунцГ.Л., АрамановичИ.Г.. Сборник задач по теории функций комплексного переменного.– М.: Наука, 1970.– 320с.4 Евграфов М.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И., Бежанов К.А. Сборник задач по теории аналитических функций. – М.: Наука, 1969. – 382 с. 5 Ершова В.В. Импульсные функции. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление. – Минск.: Высшая школа, 1976. –256 с. 6 Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1987. – 303 с. 7 ЛаврентьевМ.А., ШабатБ.В.. Методы теории функций комплексного переменного.– М.: Наука, 1988.–688с8Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. – М.: Наука, 1966. – 388 с. 9 Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1977. – 444 с. 10Радыгин В.М., Голубева О.В. Применение функции комплексного переменного в задачах физики и техники. - М.: Высшая шкала, 1983. –160 с. 11 Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: Наука, - 1979. – 320 с. 12 Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1976. – 408 с. 13Соломенцев Е.Д. Функции комплексного переменного и их применение. – М.: Высшая школа. 1988. – 167 с. 12 Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. –М.: Наука, 1976.–380 с.