19 номер егэ. Классификация: какие типы задач встречаются, их решения и подбор к каждому пункту теории из «теории чисел»

Мы покажем, что 39 грузовиков достаточно. Вот пример загрузки: в 10 грузовиках загружены 5 блоков весом по 800 кг каждый и один блок весом 1000 кг; 25 грузовиков загружены 2 блоками по 1000 кг каждый и 2 блоками по 1500 кг; 3 блока весом 1500 кг каждый загружены в 3 грузовика, а блок весом 1500 кг каждый загружен в один грузовик. В этом случае все комки будут загружены в 39 грузовых автомобилей. Таким образом, наименьшее количество грузовых автомобилей составляет 39.Ответ:а) да; б) нет; в)39.№2. В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам определённого отдела на общую сумму 800000 рублей (размер премии сотрудника – целое число, которое кратно 1000). Бухгалтеру дают следующее задание распределить премии так, что он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр номиналом 1000 рублей и 110 купюр номиналом по 5000 рублей.а) удастся ли выполнить полученное задание, если в отделе 40 сотрудников и каждый должен получить одинаковую сумму?б) удастся ли выполнить полученное задание, если ведущему специалисту необходимо выдать 80 000 р, а оставшиеся деньги поделить поровну между 80 сотрудниками?в) при каком наибольшем количестве сотрудников в отделе бухгалтеру удастся выполнить задание при любом распределении размеров премии?Решение.а) Т.к. при таком условии каждый сотрудник должен получить по 20000 р., премии можно выдать 27 сотрудникам по 4 купюры номиналом 5000 р, одному – две купюры номиналом пять тысяч и 10 купюр номиналом 1000 р, оставшимся 12 сотрудникам по 20 купюр нормальном 1000 р. каждая.б) т.к. (800000-80000):80=9000, то каждый сотрудник должен получить по 9 тысяч рублей. Следовательно, каждому сотруднику нужно будет выдать не менее 4 тысячных купюр, то есть потребуется не менее 320 тысячных купюр. Значит, без сдачи и размена выдать премии всем сотрудника не получится.в) предположим, чтоесли сотрудников 64 или больше, разделим премии так: 63 человека должны получить по 4 тысячи, один – всё остальное, оставшиеся сотрудники – ничего не получит. В данном случае выдать премии нельзя по тем же самым причинам, что и в пункте б). Предположим такое, что сотрудников не больше 63, то 62 сотрудникам будем выдавать премии, используя не более 4 купюр номиналом в тысячу рублей, пока не кончаться пятитысячные купюры. Если пятитысячные купюры закончились, то оставшиеся премии выдать точно удастся. Если же нет, то все премии, кроме одной будут выданы. Последний сотрудник просто заберёт оставшиеся деньги.Ответ:а)да; б)нет; в)63.10 Арифметическая прогрессия№1.Дано n различных натуральных чисел (не менее трех), составляющих арифметическую прогрессию. а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18? б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800? в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111.Решение. а) Например, числа 5,6,7.б) Пусть прогрессия (и d > 0), - возрастающая. Тогда верно неравенство .Отсюда . Прогрессия 1,2,…39 (сумма 780<800), т.е. n = 39.в) по условию , . Если , то , т.е. n<37.Получаем возможные значения n=3 или n=6Примеры таких прогрессий: 36,37,38 и 16,17,18,19,20,21.Ответ: а) да, пример, 5,6,7; б) 39; в) 3;6.№2. Некоторое количество разных натуральных чисел, в десятичной записи которых отсутствуют такие цифры как 1 и 9, составляют арифметическую прогрессию. а) Возможно ли, что сумма всех членов арифметической прогрессии быть равной 298? б) Возможно ли, что в прогрессии может быть 35 членов? в) Покажите, что если разность этой арифметической прогрессии не меньше 4, но и не больше 8, то количество членов не должно превосходит 18. г) Привести пример того, когда разность арифметической прогрессии не меньше 4, но и не больше 8, а количество членов будет равно 18.Решение.Пусть прогрессия (и d > 0), - возрастающая.а) . Отсюда ,т.е. возможные значения n: 2, 4, 149, 298 и 596.При n=4 имеем . Если d=1, то , S=298.б) при и d=2 получим прогрессию 20, 22, …, 88 (n=35).в) Пусть . В последовательности 0, 1, …, 98, 99 содержится следующая последовательность 20, 24, …, 88 (наибольшей длины), которая не содержит цифр 1 и 9. Тогда .г) например, и d=4: 20, 24, …, 88Ответ: а) да; б) да; г) и d=4.11 Геометрическая прогрессия№1.. Возможно ли привести пример 5 различных натуральных чисел, произведение которых будет равно 1344 и эти 5 числе образуют геометрическую прогрессию: а) три числа; б) четыре числа; в) пять чисел? Решение: Заметим, что 1344=26а) первому условию удовлетворяют числа 3,8,2,4,8.б) второму условию удовлетворяют числа 1,2,4,8,21.в) Пусть также 1344=, где – различны и , , , .Перемножив числа, получим .Пусть , где числа и взаимно просты. Из равенства следует, что число 1344 делится на и kне равно 1.Ответ: а) да; б) да; в)нет.№2. Все члены геометрической прогрессии – различные натуральные числа, заключенные между числами 210 и 350. а) Возможна ли такая прогрессия состоять из четырех членов? б) Возможна ли такая прогрессия состоять из пяти членов?Решение. а) взяв и , получим , и .б) Предположим, что такая прогрессия из пяти членов существует. Пусть – её первый член есть и знаменатель , где mи k взаимно просты. Тогда /так как , то делится на , а значит, , откуда . Имеем q>1, k Последовательность состоит из нечетного числа членов. => Следовательно, последовательность состоит из не менее 23 членов. Пример пункта а) удовлетворяет этой оценке.Ответ: б) нет; в) 23.№2.Последовательность состоит из натуральных чисел, причем каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним членов).а) продемонстрируйте пример такой последовательности, которая состоит из четырёх членов, сумма которых равна 50.б) возможно ли что такая последовательность состоит из шести членов и может ли содержать два одинаковых числа?в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов искомой последовательности при ?Решение.К примеру, последовательность 1, 12, 17, 20 удовлетворяет условию задачи, а сумма всех членов равна 50.б) Например, последовательность 1, 12, 20, 20, 12, 1 удовлетворяет условию задачи.в) для выполнено неравенство .Отсюда и , то есть последовательность разностей соседних членов последовательности убывает. Пусть . Тогда верна цепочка неравенств,и для имеем:Поскольку Умножив первое из этих неравенств на 10-k, а второе на k-1 и сложив их, получим:, +1Отсюда Сумма чисел Последовательность чисел 1, 5, 8, 10, 11, 11, 10, 8, 5, 1 удовлетворяет условию задачи, и сумма всех членов равна 70.Ответ: а) 1, 12, 17, 20; б) да; в) 70.ЗАКЛЮЧЕНИЕВ первой главе была написана классификация для тех, кому посвящено задание под номером 19. Классификация оказалась довольно большой ввиду того, что задача охватывает довольно большую область.Согласно классификации, для каждого предмета была написана соответствующая теория, которой и была посвящена вторая глава данной курсовой работы.В третьей главе были продемонстрированы типичные задачи, которые можно найти на экзамене в задаче 19. Два основных примера были даны для каждого элемента классификации, и подробное решение было дано для этих примеров.В ходе выполнения курсовой работы мы ознакомились с материалами, которые служат для подготовки к ежегодному государственному экзамену по математике. Мы сосредоточились на задаче под номером 19 на экзамене. Как оказалось, эта задача не обычная. Как и ожидалось, эта задача является задачей олимпиадного уровня. Есть и простые задачи, и довольно сложные.В связи с тем, что уровень сложности этой задачи варьируется, экзамен по математике делится на базовый и основной. С уровнем профиля все довольно просто и понятно, поскольку задача № 19 для базового уровня проще, чем для уровня профиля. Некоторые примеры таких заданий приведены в третьей главе. Чтобы решить такие проблемы, школьного уровня обучения будет достаточно.Но что касается более сложных задач, они в основном находятся на экзамене по математике уровня профиля, примеры таких задач также представлены в третьей главе.Подводя итог вышесказанному, можно сказать, что для успешного решения задач профильного уровня требуются дополнительные знания, то есть необходимы дополнительные факультативы, которые предоставят больше информации для решения.Обобщая итог, можно сказать, что была проделана большая работа по поиску подходящей теории и соответствующих этой теории примеров, которые необходимы для лучшего понимания задания подномером 19 в ЕГЭ по математике..Список используемой литературы1. Бухштаб А.А. Теория чисел.Просвящение. М. -385 с.2. Прокофьев, А.А. Математика. ЕГЭ. Задачи на целые числа (типовое задание 19): учебно-методическое пособие / А.А. Прокофьев, А.Г. Корянов. – Издание 2-е, пераб.- Ростов –н/Д: Легион, 2018. -304 с.