Основные характеристики гладких кривых в трехмерном евклидовом пространстве

Говорят, что три вектора, , образуют естественный трехгранник. Запишем разложения производных этих векторов по длине дуги по векторам этого базиса:Найдем коэффициенты разложений. По определению вектора главной нормали имеем Следовательно, коэффициенты . Так как при доказательстве теоремы о кручении мы установили формулу то коэффициенты . Теперь найдёмпроизводную от вектора. Так как – единичный вектор, то Умножимразложение вектораскалярно на вектор Далее умножим это разложение скалярно на:Следовательно, Полученныеразложения векторов , и носят название формул Френе. Формулы Френе играют фундаментальную роль в теории кривых. Запишем эти самые формулы:Воспользуемсяформулами Френе для выяснения геометрического вида кривой в окрестности некоторой ее точки, в которой кривизна и кручение отличны от нуля, т.е. и . Запишем разложение Тейлора для вектор-функциив окрестности точки В соответствии с обозначениями, которые были введены нами ранее получаем следующее:Далее применяяформулыФрене найдем Используя эти выражения, запишем Поведение кривой в окрестности точки опишем с помощью проекций кривой на координатные плоскости, т.е. с помощью проекции кривой на плоскость векторов, на плоскость векторов и на плоскость векторов. Пусть начало координат расположено в точке , ось направлена по вектору, ось — по вектору и ось по вектору . Разбирая каждую проекцию кривой, следует ограничиться главными бесконечно малыми. Для того чтобы получить проекцию на какую-либо координатную плоскость, возьмем две соответствующие этой плоскости координаты. Проекция на плоскость векторов описывается координатамии , которые являются коэффициентами при векторах и соответственно в разложении вектора. Имеем Таким образом, проекция кривой на плоскость (см.рисунок5) приближенно описывается параболой Рисунок 5 – проекция кривой на плоскость Плоскости векторов соответствуют координаты . Имеем Таким образом, проекция кривой на плоскость приближенно описывается кубической параболой На рисунке6 изображена эта кривая при .Рисунок6 – кривая при Проекция кривой на плоскость векторов дается координатами:Анализируя эти формулыможно сказать, что при достаточно малых координата .Исключая ,получаем следующее:Таким образом, точкадля проекции кривой на плоскость главной нормалии бинормалиявляется особой точкой - точкой возврата первого рода, причем в точке обе ветви проекции касаются (рис. 7). Рис. 7По трем проекциям можно найти вид самой кривой в окрестности точки . Пусть кручение кривой.Так как проекция кривой на плоскость приближенно естьпарабола , , то кривая расположена на параболическом цилиндре с прямолинейной образующей, параллельной оси. Как следует из вида проекции на плоскость, ветвь кривой,которая отвечает значениям при достаточно малых расположена выше плоскости, а ветвь, для которой расположена ниже плоскости (см. рисунок8).Рисунок 8Для некоторых пространственных регулярных кривых можно определить кривизну со знаком. Предположим, что вдоль кривой существует непрерывное и дифференцируемое поле ортонормированных реперов,при этом поле такое, что –касательныйвектор, в тех точках, где главнаянормаль определена, либо совпадает с главной нормалью, либо имеет противоположное ей направление. Записывая производные по длине дуги каждого орта , получим аналог формул Френегде –некоторые коэффициенты в разложениипроизводных. Кривизной со знаком будем называть коэффициент , который может отличаться от только знаком. Этой кривизной бывает удобно пользоваться в тех случаях, когда в некоторых точках и главнаянормаль при переходе через такие точки меняет свое направление на противоположное.Практическая частьЗадание 1Показать, что пространственная криваязадана в естественной параметризации и в точке вычислить её кривизну и кручение.Решение.Перепишем задание нашей кривой в параметрическом виде:Естественной (или натуральной) параметризацией называется параметризация кривой длиной её дуги. Таким образом, покажем, что длина дуги кривой от до равна . Чтобы вычислить, воспользуемся формулой:Вычислим производные от функций координат:Подставим найденные значения в формулу расчёта длины дуги кривой:Вывод: кривая задана в естественной параметризации.Рассчитаем кривизну кривой по следующей формуле:Знаменатель был вычислен в рамках расчёта длины дуги и равен 1.Вычислим значения первых и вторых производных при .Подставим найденные значения в формулу расчёта кривизны:Рассчитаем кручение кривой по следующей формуле:Знаменатель совпадает с подкоренным выражением, стоящим в числителе формулы кривизны, был подсчитан и равен . Вычислим третьи производные:Вычислим значения третьих производных при .Подставим найденные значения в формулу расчёта кручения:Вывод: в точке кривизна равна, а кручение равно .Задание 2Для кривой вычислить кривизну и кручение в точке .Решение.Перепишем задание нашей кривой в параметрическом виде:Для расчёта кривизны и кручения потребуются производные первого, второго и третьего порядков. Вычислим их в общем виде и в точке .Рассчитаем кривизну кривой по следующей формуле:Подставим найденные значения в формулу расчёта кривизны:Рассчитаем кручение кривой по следующей формуле:Подставим найденные значения в формулу расчёта кручения:Вывод: в точке кривизна равна, а кручение равно .Задание 3Найти натуральные уравнения кривойРешение.Рассчитаем зависимость длины дуги кривой от . Чтобы вычислить, воспользуемся формулой:Перепишем задание нашей кривой в параметрическом виде:Вычислим первые,вторые и третьи производные:Рассчитаем кривизну кривой по следующей формуле:Рассчитаем кручение кривой по следующей формуле:Подставим найденные значения в формулу расчёта кручения:Натуральные уравнения данной кривой имеют вид:Задание 4Кривая задана натуральными уравнениямиНайти каноническое представление кривой, приняв за точку отсчёта начало неподвижной системы координат и положив этой точке векторы репера Френе . Ограничиться разложением:Решение.Согласно обозначениям в условии задания, .Далее с помощью формул Френе найдёмИспользуя эти выражения и разложение Тейлора для вектор-функции из условия, получим:В результате получим следующее задание кривой:Задание 5Плоская кривая задана натуральным уравнением . Найти параметрические уравнения кривой. В качестве параметра принять угол наклона касательной к оси абсцисс.Решение.Из указаний к заданию получаем систему дифференциальных уравнений:Используя геометрический смысл кривизны получаемПодставим уравнение из условия и проинтегрируем:Подставим полученное значение в систему и проинтегрируем:Используя интегрирование по частям, получим:ЗаключениеВ данной работе мы изучили понятие гладкой кривой в трехмерном евклидовом пространстве и её основные характеристики.В теоретической части были рассмотрены такие вопросы, как понятие кривой, длина дуги кривой, кривизна и кручение кривой в трёхмерном пространстве, а также формулы Френе.В практической части были выполнены задания по данной тематике с применением знаний, полученных при изучении теоретического материала.