Моделирование элементов сложных систем условий и процессов и их функционирования

Также следует учесть, что компоненты матрицы X1 должны быть наблюдаемыми технологическими параметрами.
В результате получим матричное уравнение системы в виде (1.10) (матрица Н)









После проведенных матричных вычислений с учетом того, что x84=x77, x81=x76 и x93=x94 получим искомое решение минимизированной матрицы Н


x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 W5 0 0 0 0 W36 0 x7 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 W31 W4 -1 W10 0 0 0 W38 0 x8 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 W9 -1 0 0 0 0 0 x9 0 0 0 W14 W17 W20 W23 W25 0 0 0 0 0 W1 W6 W11 -1 0 W34 0 0 x x10 =0 (1.10) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 W28 W29 0 0 0 W7 0 0 -1 0 0 W39 x11 0 0 0 W15 W18 W21 0 W26 W27 0 0 W30 0 W2 W8 W12 W33 0 -1 0 0 x12 0 0 0 W16 W19 W22 W24 0 0 0 0 0 0 W3 0 W13 0 0 W35 -1 0 x13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 W32 0 0 0 -1 x14 x15 x16 x74 x75 x76 x77 x93


Результаты сведем в таблицу 1.3
Таблица 1.3.

Iy Uy Gy k.o Ca Ma h frp N D e tок Ef I U G H Qт T f Q x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x74 x75 x76 x77 x93 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 W5 0 0 0 0 W36 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 W31 W4 -1 W10 0 0 0 W38 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 W9 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 W14 W17 W20 W23 W25 0 0 0 0 0 W1 W6 W11 -1 0 W34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 W28 W29 0 0 0 W7 0 0 -1 0 0 W39 0 0 0 W15 W18 W21 0 W26 W27 0 0 W30 0 W2 W8 W12 W33 0 -1 0 0 0 0 0 W16 W19 W22 W24 0 0 0 0 0 0 W3 0 W13 0 0 W35 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 W32 0 0 0 -1

Из таблицы 1.3 получим следующие соотношения для полученных моделей:
- напряжения питания электролизера
U = X2 + W31*X13 + W4*X14 + W10*X16 +W38*X77
- количество выливаемого алюминия из электролизной ванны
Q = W14*X4 + W17*X5 + W20*X6 + W23*X7 +W25*X8 +W1*X14 + W6*X15
+W11*X16 +W34*X76

При связности параметров процесса функциональные зависимости искомых компонент можно свести к другому виду, используя данные из таблицы 1.3. Это необходимо сделать, чтобы исключить трудноконтролируемые технологические параметры (X8, Х76) и свести к основным уставочным переменным (X1,X2):

U(X15) = f(X1,X2,X13,X14,X16,X77) (1.11)
Q(X74) = f(X1,X2,X4,X5,X6,X7,X13,X14,X15,X16,X77), (1.12)
где:
X1 – уставочное значение силы тока серии, (кА).
X2 – уставочное значение напряжения на электролизной ванне, (В).
X4 – криолитовое отношение.
X5 – фтористый кальций, ( %).
X6 – фтористый магний, (%).
X7 – уровень электролита, (см).
X8 – форма рабочего пространства.
X13 – энергия вспышки, (кВт*ч).
X14 – действительное значение тока серии, (кА).
X15 – действительное значение напряжения на электролизной ванне, (В).
X16 – действительное количество доз глинозема, поданного на электролизную ванну, (доз).
X77 – частота анодных эффектов на электролизере.
Wi – операторы компонент.
Проведенный этап структурной идентификации [6, 14] дает возможность определить необходимые компоненты для этапа параметрической идентификации и в дальнейшем перейти к решению задачи оптимизации объекта по двум критериям
U(X15) = f(X1,X2,X13,X14,X16,X77) ( min
Q(X74) = f(X1,X2,X4,X5,X6,X7,X13,X14,X15,X16,X77) ( max
Процесс получения алюминия медленный и устойчивый процесс, поэтому его можно рассматривать как стационарный, а математическим аппаратом моделирования принят метод регрессионного анализа. Соотношение (1.11, 1.12) позволяет разработать регрессионную модель для процесса получения алюминия в виде:

Y=B*X (1.13)
где:
B=[XT*X]-1*XT*Y (1.14)
X - матрица результатов наблюдений за параметрами(X1…Xn),
Y - матрица-столбец выходных результатов измерений,
В – матрица-столбец коэффициентов регрессионной модели.
Был проведен ряд экспериментов по замеру необходимых технологических параметров, при этом значения экспериментов брались усредненными за сутки, т.е. центрированными и сведены в таблицу 1.3.

Таблица 1.4.
Экспериментальные данные, полученные на электролизере 2028 (март 2018).
Iуст I Uуст U Gуст G f Ef Ca Mg K.O. Q H h 1 161.5 161.58 4.440 4.588 200 227 4 3.6 1.4 2.55 1100 41 13 2 161.5 161.56 4.440 4.629 200 278 5 3.7 1.4 2.58 1150 42 12 3 161.5 161.52 4.440 4.497 200 248 1 3.8 1.4 2.60 1150 40 13 4 161.5 161.64 4.458 4.545 200 226 2 3.9 1.4 2.63 1100 41 14 5 161.5 161.65 4.458 4.541 200 243 2 4.0 1.3 2.65 1100 40 13 6 161.5 161.43 4.440 4.611 200 181 6 4.1 1.3 2.68 1100 41 13 7 161.5 161.52 4.457 4.551 200 264 3 4.1 1.3 2.70 1100 40 14 8 161.5 161.46 4.459 4.623 200 329 3 4.2 1.3 2.73 1090 41 15 9 161.5 161.48 4.440 4.549 200 343 3 4.2 1.2 2.76 1090 40 15 10 161.5 161.52 4.440 4.618 200 328 2 1510.8 4.3 1.2 2.73 1080 41 15 11 161.5 161.56 4.440 4.492 200 282 1 418.9 4.3 1.2 2.70 1080 40 15 12 161.5 161.57 4.457 4.575 200 238 2 1112.7 4.3 1.2 2.71 1000 41 16 13 161.5 161.48 4.440 4.609 200 465 1 1200.8 4.4 1.2 2.71 1000 41 16 14 161.5 161.51 4.458 4.535 200 434 1 705.1 4.4 1.2 2.72 1180 42 16 15 161.5 161.46 4.440 4.467 200 410 0 0 4.4 1.2 2.63 1180 39 17 16 161.5 161.55 4.440 4.487 200 479 1 1365 4.5 1.2 2.63 1050 40 18 17 161.5 161.58 4.458 4.484 200 281 0 0 4.5 1.2 2.63 1050 39 17 18 161.5 161.53 4.440 4.546 200 270 2 1320 4.5 1.2 2.63 1000 40 16 19 161.5 161.48 4.457 4.494 200 273 0 0 4.6 1.2 2.64 1000 40 16 20 161.5 161.45 4.440 4.606 200 319 2 1510 4.6 1.2 2.64 1050 41 15 21 161.5 161.52 4.457 4.557 200 343 2 1201 4.6 1.2 2.64 1050 40 13 22 161.3 161.29 4.440 4.459 200 349 0 0 4.7 1.3 2.65 1000 41 10 23 161.0 161.07 4.457 4.513 200 385 1 620 4.7 1.3 2.65 1000 41 11 24 161.0 159.35 4.440 4.425 200 253 0 0 4.7 1.3 2.66 1100 42 12 25 160.7 160.74 4.458 4.490 200 300 0 0 4.8 1.3 2.67 1100 41 13 26 160.7 160.72 4.440 4.512 200 315 1 510 4.8 1.3 2.69 1150 42 14 27 160.7 160.72 4.440 4.472 200 341 0 0 4.8 1.3 2.71 1150 40 14 28 160.7 160.65 4.440 4.549 200 478 2 1190 4.9 1.3 2.74 1150 41 14 29 160.7 160.67 4.440 4.482 200 273 0 4.9 1.3 2.76 1150 39 15 30 160.7 160.68 4.440 4.483 200 558 0 4.9 1.3 2.79 1100 40 16 31 160.7 160.62 4.440 4.580 200 630 1 4.9 1.3 2.82 1100 39 16








Используя соотношения (1.11 - 1.14), данные экспериментов таблицы 1.4, а также программный пакет “MATHCAD 7 PROFESSIONAL”, получим следующие математические модели объекта:
Функция напряжение питания электролизера имеет вид
U(X15) = f(X1,X2,X13,X14,X16,X77)
Результаты наблюдаемых параметров для функции напряжения питания электролизера приведены в таблице 1.5.
Таблица 1.5.
X1 X2 X13 X14 X16 X77 X15 161.5 4.440 1510 161.45 319 2 4.606 161.5 4.457 1201 161.52 343 2 4.557 161.3 4.440 0 161.29 349 0 4.459 161.0 4.457 620 161.07 385 1 4.513 161.0 4.440 0 159.35 253 0 4.425 160.7 4.458 0 160.74 300 0 4.490 160.7 4.440 510 160.72 315 1 4.512
Компоненты уравнения (1.13) равны:
Матрица Х:
161.5 4.440 1510 161.45 319 2 161.5 4.457 1201 161.52 343 2 X = 161.3 4.440 0 161.29 349 0 161.0 4.457 620 161.07 385 1 161.0 4.440 0 159.35 253 0 160.7 4.458 0 160.74 300 0
Матрица Y:
4.606 4.557 Y = 4.459 4.513 4.425 4.490 Матрица В:
-0,0321 1.22997 B = 0,00021 0,02599 -4,205Е-05 -0,0867
Математическая модель для напряжения принимает вид:
U = -0.0321*X1+1,2299*X2+0.00021*X13+0.02599*X14-4.205E-5*X16-0.0867*X77.
(1.15)
Проверка, провиденная для полученного дополнительного эксперимента, показала:
Uмодели = -0,0321*160.7+1,2299*4.440+0,00021*510+0,02599*160.72-4,206Е-5*315-0.0867*1 = 4.487
Погрешность полученной модели составляет 0.57%.
Кроме того, были получены данные регрессионной статистики, возвращаемой программой Excel при расчете регрессионной модели.
Получены следующие результаты:
Коэффициент детерминации (r2) 0,942 Стандартная ошибка для оценки Y (sey) 0,027 F-наблюдаемое значение (F) 5,399 Значимость F 0,31805 Степень свободы (df) 2 Регрессионная сумма квадратов (ssreg) 0,0237 Остаточная сумма квадратов (ssresid) 0,001466
Коэффициент детерминации показывает, какая доля вариации изучаемого показателя объясняется влиянием факторов, включенных в уравнение регрессии. Значение совокупного коэффициента множественной детерминации находится в пределах от 0 до 1. Поэтому, чем ближе r2 к единице, тем вариация изучаемого показателя в большей мере характеризуется влиянием отобранных факторов.
Общая оценка адекватности уравнения может быть получена с помощью дисперсионного F- критерия Фишера. Проверку значимости уравнения регрессии производят на основе вычисления F- критерия Фишера:

Полученное значение – критерия Fрасч сравнивают с критическим (табличным) для принятого уровня значимости 0,05 или 0,01 и чисел степеней свободы k1 = m - 1 и k2 = n - m. Если Fрасч больше соответствующего табличного значения, то данное уравнение регрессии статистически значимо, т.е. доля вариации, обусловленная регрессией, намного превышает случайную ошибку. В нашем случае Fрасч = 5,399, Fтабл = 6,94.
Для оценки значимости коэффициента регрессии при линейной зависимости выходного параметра от входных факторов, используют t–критерий Стьюдента при n-m-1 степенях свободы. Если tрасч > tтабл, то коэффициент считается значимым.
Таким образом, дополнительная статистика показала, что математическая модель напряжения на электролизной ванне пригодна для дальнейших исследований.

Функция для количества выливаемого металла из электролизера имеет вид
Q(X74) = f(X1,X2,X4,X5,X6,X7,X13,X14,X15,X16,X77)
Результаты наблюдения параметров функции для выливаемого металла электролизера приведены в таблице 1.6.

Таблица 1.6.
X1 X2 X4 X5 X6 X7 X13 X14 X15 X16 X77 X74 161.5 4.458 2.63 4.5 1.2 17 0 161.58 4.484 281 0 1050 161.5 4.440 2.63 4.5 1.2 16 1320 161.53 4.546 270 2 1000 161.5 4.457 2.64 4.6 1.2 16 0 161.48 4.494 273 0 1000 161.5 4.440 2.64 4.6 1.2 15 1510 161.45 4.606 319 2 1050 161.5 4.457 2.64 4.6 1.2 13 1201 161.52 4.557 343 2 1050 161.3 4.440 2.65 4.7 1.3 10 0 161.29 4.459 349 0 1000 161.0 4.457 2.65 4.7 1.3 11 620 161.07 4.513 385 1 1000 161.0 4.440 2.66 4.7 1.3 12 0 159.35 4.425 253 0 1100 160.7 4.458 2.67 4.8 1.3 13 0 160.74 4.490 300 0 1100 160.7 4.440 2.69 4.8 1.3 14 510 160.72 4.512 315 1 1150 160.7 4.440 2.71 4.8 1.3 14 0 160.72 4.472 341 0 1150 160.7 4.440 2.74 4.9 1.3 14 1190 160.65 4.549 478 2 1150

Компоненты уравнения (1.13) равны:
Матрица Х:
161.5 4.458 2.63 4.5 1.2 17 0 161.58 4.484 281 0 161.5 4.440 2.63 4.5 1.2 16 1320 161.53 4.546 270 2 161.5 4.457 2.64 4.6 1.2 16 0 161.48 4.494 273 0 161.5 4.440 2.64 4.6 1.2 15 1510 161.45 4.606 319 2 161.5 4.457 2.64 4.6 1.2 13 1201 161.52 4.557 343 2 X = 161.3 4.440 2.65 4.7 1.3 10 0 161.29 4.459 349 0 161.0 4.457 2.65 4.7 1.3 11 620 161.07 4.513 385 1 161.0 4.440 2.66 4.7 1.3 12 0 159.35 4.425 253 0 160.7 4.458 2.67 4.8 1.3 13 0 160.74 4.490 300 0 160.7 4.440 2.69 4.8 1.3 14 510 160.72 4.512 315 1 160.7 4.440 2.71 4.8 1.3 14 0 160.72 4.472 341 0
Матрица Y: Матрица В:
1050 -59,267 1000 390.688 1000 3685.94 1050 -730.76 1050 368.76 Y = 1000 B = -9,81 1000 -0,1151 1100 -10,723 1100 928,6047 1150 -0,8893 1150 66,5493
Математическая модель для количества вылитого металла выглядит следующим образом:
Q=-59.267*x1+390.688*x2+3685.94*x4-730.76*x5+368.76*X6-9.81*x7-0.1151*x13-
-10.723*x14+928.6047*x15-0.8893*x16+66.5493*x77 . (1.16)
Проверка погрешности, провиденная для полученного дополнительного эксперимента, показала:
Qмодели=-59.267*160.7+390.688*4.440+3685.94*2.74-730.76*4.9-9.807*14-
-0.11506*1190-10.723*160.65+928.6047*4.549-0.8893*478+66.5493*2 =1143.95.
Погрешность полученной модели составляет 0.53%.
Для данной модели также была проведена регрессионная статистика. Получены следующие результаты:
Коэффициент детерминации (r2) 0,9550 Стандартная ошибка для оценки Y (sey) 43,275 F-наблюдаемое значение (F) 2,1 Степень свободы (df) 1 Регрессионная сумма квадратов (ssreg) 39793,85 Остаточная сумма квадратов (ssresid) 1872,78
Статистика для математической модели количества выливаемого метала показала, что данная модель может использоваться в дальнейших исследованиях.
В качестве примечания следует отметить, что на основании таблицы 1.3. были проведены исследования в области дрейфа коэффициентов регрессионной модели для процесса напряжения электролизера. Данные в таблице 1.4 соответствуют эксперименту с 19 по 26 марта, коэффициенты равны:
B = (-0,0321 1.22997 0.00021 0,02599 -4,205Е-05 -0,0867).
Расчет коэффициентов модели для данных с 10 по 16 марта, позволил получить следующие коэффициенты:
B = (-0,0321 1.22997 0.00021 0,02599 -4,205Е-05 -0,0818)
при следующем соотношении Uмодели=4.48 и Uфакт=4.512. Как видно, отклонение небольшое, что говорит об устойчивости модели для напряжения питания электролизера.
Малая относительная погрешность значений модели показывает адекватность реальному физическому процессу.










Заключение

В ходе курсовой работы были рассмотрены математические методы создания математической модели производственного процесса, а именно раскрыты основные понятия данного раздела науки, как математическое моделирование, при помощи математической схемы.
В заключении можно сказать, что этой аспект науки нужно интенсивно развивать, так как он, на данный момент времени, при построении больших (масштабных) работ, мало эффективен из – за того, что мало построено моделей, исходя из которых можно развивать практически все отрасли, но прогресс не стоит на месте и каждый день приобретаются более глубокие данные в этом аспекте науки.
Кроме этого был проведен технологический обзор характеристик электролизера, который показывает сложность и многосвязность объекта.
На основании характеристик электролизера построен С-граф, который дает представление о функциональных зависимостях рассматриваемых технологических параметров.
Получена регрессионная модель для двух технологических параметров электролизера: напряжения питания электролизной ванны и количества выливаемого металла из электролизера.












Список используемой литературы

Абрамов Г.А.,Ветюков М.М.,Гупало И.П.,Костюков А.А.,Ложкин Л.Н. Теоретические основы электрометаллургии алюминия. – М.: Металлургиздат, 1953. – 583 с.
Алгоритмический нелинейных систем управления.// Нелепин Р.А.Камачкин А.М., Туркин И.И.Шамберов В.Н.; под ред. Р.А.Нелепина; ЛГУ. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1990.
Алпатов. Ю.Н Синтез систем управления методом структурных графов. - Иркутск, Изд-во Иркут.ун-та, 1988 . -144с.
Берж К. Теория Графов и ее применение. – М.: Изд-во иностр. лит. 1962. – 319 с.
Бояревич В.В.,Калис Х.Э.,Миллере Р.П. и др. Математическая модель для расчета параметров алюминиевого электролизера//Цветные металлы. 1988 .№7. С.63-66.
Быков Ю.М. Основы обработки информации в АСУ химических производств: Теория и расчет информационных подсистем. – Л.: Химия, 1986. – 152 с.
Вавилов А.А.,Имаев Д.Х.,Родионов В.Д. и др. Машинные методы расчета систем автоматического управления. – Л.:ЛЭТИ, 1978. – 114 с.
Вагнер Г. Основы исследований операций, т. 1. М., «Мир», 1972,т. 2-3. М., 1973
Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Особые линейные и нелинейные системы. 2-е изд., перераб. – М.:Энергия, 1980. – 312 с.
Калман Р., Фалб.П., Арбиб. М, Очерки по математической теории систем. – М.: Мир, 1971. 400 с.
Математическая теория оптимальных процессов./ Л.С.Понтрягин, В.Г.Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе и др. – М.: Наука. 1969., 384 с.
Мелихов А.Н. Ориентированные графы и конечные автоматы. - Наука, 1971. – 416 с.
Солодовников В.В., Семенов В.В., Немель М., Недо Д. Расчет систем управления на ЦВМ. – М.: Машиностроение, 1979. – 660 с.
Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. – М.: Наука, 1975, 279 с.
Ту Ю. Современная теория управления. – М.: Машиностроение. 1971, 472 с.












4







1

1

1

d1

x1

x2

xn

t13

t12

t2n

dn

x3

1

1

1

-b1

x1

-b2

-bn

x2

t11

t22

t2n

tnn

xi

xi

W(S)i

W(S)i

x1

x2

x3

x1

x3

x2

1

1

1

x1

x2

x3

x1

x2

x3

1

1

1

1

Рис. 1.4.



Рис. 1.5. Структурная схема процесса производства алюминия



Рис. 1.6. С-граф процесса получения алюминия