Моделирование случайных чисел с заданным распределением, оценка параметров выборки.

Порядок генерации последовательности с использованием данного алгоритма:Выработка двух независимых случайных чисел y1 и y2, из равномерно распределенной последовательности в интервале [0,1].Установка параметров:Параметры V1 и V2являются равномерно распределенными в интервале [-1;+1] и существует возможность их представления в форме с плавающей запятой.Установка параметров:Проверка условия: . Если выполняется, то необходимо вернуться к началу алгоритма,если не выполняется, то переходим к следующему шагу.Вычисление параметров x1 и x2:Полученные в результате вычислениязначения x1 и x2являются требуемыми значенияминормально распределенной последовательности случайных величин, имеющих среднее значение, равное нулю, и среднеквадратичное отклонение, равное единице.Если среднее значение и среднеквадратичное отклонение имеют другие значение, то необходимо провести пересчет по формуле:Использование метода полярных координат позволяет провести доказательство с использованием аппарата аналитической геометрии. Если рассмотретьплоскость, имеющую декартовы координаты V1 и V2, тос помощью первых двух шагов данного метода можно получить на плоскости случайные точки, имеющиеравномерное распределение на плоскости с декартовыми координатами (V1,V2) и полярными координатами , где R2=S. Далее, с использованием шагов 3 и 4 метода, из рассмотренных точек остаются только те, что находятся внутри круга, которые находятся внутри единичного круга.Рисунок 2 – Схема генерации случайной величины в кругеПри этом факт попадания точек внутрь единичного круга означаетподчинение точек закону нормального распределения со средним значением равным нулю, и среднеквадратичным отклонением, равным единице.Переходя к полярным координатам точек, которые равномерно распределены внутри единичного круга имеемДалее рассмотрим процесс генерирования последовательности случайных чисел, имеющей нормальное распределение.Алгоритм датчика позволяет реализоватьметод генерации последовательностей псевдослучайных чисел в соответствии с нормальным законом распределения, основанный на приведенном выше алгоритме. Алгоритм датчика предполагает обращение к процедуре обращения к RANDU (рисунок 1)при вычислении равномерно распределенных случайных чисел.Результат работы датчика GAUSS:Получение нормально распределенной последовательностипсевдослучайных чиселX с определенным значениемматематического ожиданиемM и среднеквадратичного отклоненияS.Порядок обращения к процедуре: GAUSS (IX,S,AM,X),Описание параметров:IX – параметр, необходимый для обращения к RANDU. В рамках первого обращения, IX – целое число с количеством цифр менее 9. После первого обращения IX=IY, где IY – целое, равномерно распределенное случайное число, вычисленное с помощью равномерно распределенных случайных чисел RANDU.S – заданное пользователем значениесреднеквадратичного отклонениянормального распределения.AM – заданное пользователем значение математического ожиданиянормального распределения.X – полученная последовательность нормально распределенной случайной величиныИспользуемые процендуры:RANDU – генератор последовательности равномерно распределенных случайных чисел.Порядок обращения к процедуреRANDU:RANDU (IX,IY,YF),гдеYF – полученная в результате отработки процедуры последовательность равномерно распределенных чисел в интервале [0,1] и представленная в форме с плавающей запятой.На рисунке 3 приведена блок-схема работы алгоритма получения последовательности нормально распределенных случайных чисел с заданными параметрами математического ожидания и среднеквадратичного отклонения.Рисунок 3 - блок-схема работы алгоритма получения последовательности нормально распределенных случайных чисел с заданными параметрами математического ожидания и среднеквадратичного отклоненияТаким образом, рассмотрев теоретические аспекты использования генераторов случайных чисел, можно сделать выводы:- генераторы случайных чисел используются при моделировании реальных процессов;- при реализации вычислительного эксперимента необходимо максимальное соответствие математической модели параметрам реального объекта;- проведение имитационных вычислительных экспериментов связано с необходимостью использованиягенераторов псевдослучайных чисел с заранее определёнными свойствами, соответствующими модели реального объекта;- существует большое количество алгоритмов, позволяющих проводить генерацию последовательностей псевдослучайных чисел;- полученные в результате работы алгоритмов последовательности имеют свойство взаимозависимости (последующий член последовательности вычисляется из предыдущего и при задании первого члена последовательности можно вычислить всю цепочку);- недостаток использования генераторов связан с возможностью приведения полученных последовательностей к периодичности, либо к вырождению – получению нулевых значений;- существует возможность генерации последовательностей с заданным видом распределения и статистическими параметрами выборки (математическое ожидание и дисперсия).2. Решение задач с использованием датчика случайных чисел2.1. Метод Монте-КарлоРассмотрим метод приближенного вычисления интегралов, связанный с наименьшими затратами вычислительных ресурсов.Исходными данными метода являются:- начальная и конечная точки интервала интегрирования;- количество точек попадания в область.Суть метода Монте-Карло[Воробьев, Данилова, 2007, c.102]:- Определяется область, в которой лежит подынтегральная функция ;- Генерируется случайная точка в заданной области с координатами x0,y0с помощью датчика случайных чисел;- Производится подсчет точек, попавших в область согласно условию y0