Методика формирования понятия площади фигур в планиметрии и стереометрии Р

Доказательство теоремы у авторов происходит с помощью свойство аддитивности.При доказательстве теоремы автор использует теорему о площади ортогональной проекции многоугольника. Этот многоугольник можно разделить на треугольники, так как снование пирамиды является многоугольник, у которого точка О является центром круга, вписанного в основании пирамиды. И тогда эти треугольники будут являться ортогональными проекциями на плоскость основания пирамиды ее соответствующих боковых граней. Сложив почленно равенства, которые выражают площадь каждого треугольника, Sполучается формула Автор отмечает, что эта формула так жесправедлива для площади основания правильной пирамиды.Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды в учебных пособиях Л.С. Атанасяна и Е.В. Потоскуева, Л.И. Звавича вводится через теорему: «Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на апофему» [7, С. 47].У авторов доказательство данной теоремы не приводится, автор предлагает учащимся доказать ее самостоятельно, но Е.В. Потоскуев, Л.И. Звави- ча приводят указание, говоря о том, что для доказательства теоремы достаточно площадь одной из боковых граней пирамиды умножить на их число. Площадь поверхности цилиндра, конуса и сферы рассмотрены во всех учебных пособиях.За площадь боковой поверхности цилиндра Л.С. Атанасян, А.В. Погорелов, Е.В. Потоскуев и Л.И. Звавич И.Ф. Шарыгин принимают площадь ее развертки ,где R-радиус основания, h-высота цилиндра. И.М. Смирнова, В.А. Смирнов не рассматривают отдельно формулы для нахождения боковой поверхности цилиндра, лишь при доказательстве теоремы о площади полной поверхности цилиндра автор пишет, что разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник с основанием 2nRи высотой b, поэтому площадь боковой поверхности равна S=2nRb. А.Д. Александров вводит теорему: «Площадь боковой поверхности цилиндра вращения с высотой Н и радиусом основания Rвыражается формулой S= 2пRН. Доказательство автор приводит с помощью понятия предельного перехода. Вокруг цилиндра описывается правильная призма, и говорится о том, что объем цилиндра приближенно равен объему призмы, а площадь боковой поверхности цилиндра приближенно равна площади боковой поверхности призмы. В результате пjлучают формулу S= 2nR/I. А.В. Погорелов помимо введения формулы площади боковой поверхности через развертку, приводит аналогичное рассуждение, как А.Д.Александров. Формула для нахождения полной поверхности цилиндра рассмотрены во всех учебниках [1; 9; 47;66], кроме А.В. Погорелова, И.Ф. Шарыгина и равнаS = 2лЯН + 2nR2 = 2nR(R+H).Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич так же в конце параграфа приводят следствие из теоремы о площади боковой поверхности цилиндра: «Пусть цилиндр образован вращением прямоугольника ABCDвокруг его высоты AD. Тогда S^=2xDC- ВС».Площадь поверхности конуса во всех рассматриваемых учебниках рассмотрены аналогично цилиндру. Формула для нахождения площади боковой поверхности цилиндра S = nRl, а полной поверхности - S = nRl+nR2, где Я-радиус основания конуса, /-длина образующей.Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич приводят следствие из теоремы о площади боковой поверхности конуса: «Пусть конус образован вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АС. Тогда Sбок= п-ВСАВ. Если D-середина отрезка АВ, то AB=2AD,поэтому S = 2ti-BC-AD».Следует отметить, что площадь боковой поверхности усеченного конуса описана лишь в учебнике А.В. Погорелова, Е.В. Потоскуева и Л.И. Звавича, Л.С. Атанасяна и находится по формуле S = n(R+r)l, а площадь полной поверхности усеченного конуса - у Е.В. Потоскуева, Л.И. Звавича и находится ПО формуле Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич площадь сферы описывают так же, как и Гангнус: «предел, к которому стремится площадь поверхности Ф, образованной вращением вокруг того же диаметра правильной n-звенной ломаной линии, вписанной в полуокружность, число сторон неограниченно возрастает» [38].Л.С. Атанасян, И.М. Смирнова и В.А. Смирнов, И.Ф. Шарыгин, А.В. Погорелов при доказательстве формулы нахождения площади сферы пользуются формулой для объема шара и понятие предельного перехода. Вокруг шара описывается многогранник, имеющих nграней. Представляют полученный многогранник, который составлен из пирамид, вершины пирамид совпадают с центром шара, а основаниями являются грани многогранника. Объем каждой из пирамид равны, и находят объем всего описанного многогранника, откуда выражают площадь поверхности многогранника. При неограниченном увеличении числа граней многогранника, наибольший размер каждой грани описанного многогранника должен стремиться нулю, а объем описанного многогранника - стремится к объему шара. Находя предел площади поверхности шара, получают формулу S= 4nRг.Площадь поверхности сферического пояса рассмотрен лишь в учебнике И.Ф. Шарыгина. Прежде чем ввести данную формулу автор доказывает несколько вспомогательных утверждений.«Площадь части боковой поверхности правильной пирамиды, заключенной между двумя пересекающимися ее плоскостями, параллельными основанию, может быть найдена по формуле S= (рх + р2) • d, где рх и р2- полупериметры многоугольников, по которым указанные плоскости пересекают нашу пирамиды, d-расстояние между сторонами этих многоугольников, лежащих в одной боковой грани пирамиды» [66, С. 141].Доказательство справедливости формулы следует из формулы площади трапеции.«Площадь части боковой поверхности конуса, заключенной между двумя пересекающимися ее плоскостями, параллельными основанию, может быть найдена по формуле S = n-(rl+r2)-d, где г, и г2 -радиусы сечений; d-длина части образующей, заключенной между плоскостями» [66].Данная формула получается из предыдущей формулы путем предельного перехода.В доказательстве данной теоремы у И.Ф. Шарыгина используется формула для вычисления части канонической поверхности.Таким образом, можно сделать вывод о том, что формула для вычисления площади поверхности призмы, пирамиды, конуса дается с помощью развертки. ЗаключениеВыполняя работу, познакомились с формулами для вычисления площади любого треугольника. Чтобы вычислить площадь треугольника нужно знать не только формулы, но и определения и свойства. Для равнобедренного, равностороннего и прямоугольного треугольников можно пользоваться различными формулами, хотя есть и общая для всех,Нами выделены основные подходы к обучению теме «Площадь»: через метод разложения; через метод дополнения. Вводить понятие площади прямоугольника можно следующими способами, а именно, с помощью: сравнения площадей; понятие предельного перехода; понятие равносоставленности. В основе каждого способа введения понятия площади прямоугольника лежит метод разложения. Так же формулы для площади правильного и произвольного многоугольника выводятся на основе метода разложения, площади параллелограмма, треугольника трапеции - на основе метода дополнения.Рассмотрена методика обучения учащихся теме «Площади фигур», которая показала, что формула для вычисления площади поверхности призмы, пирамиды, конуса дается с помощью развертки. При введении формулы для нахождения площади боковой поверхности цилиндра можно так же воспользоваться разверткой, либо через понятие предельного перехода. При введении формулы для нахождения площади сферы используется понятие предельного перехода.Разработаны методические рекомендации по обучению теме «Площади фигур». Определено, что при обучении учащихся теме «Площади фигур» следует уделять больше времени формированию практических навыков вычисления площадей. Формулу для вычисления площади боковой поверхности пирамиды и призмы учащимся желательно вывести самостоятельно; формулы для вычисления площади боковой поверхности цилиндра и конуса следует вводить на интуитивно-наглядном уровне; формулу площади сферы следует доказывать по учебнику. Не стоит требовать от учащихся знания формул полной поверхности призмы, пирамиды, цилиндра и конуса, так как они должны самостоятельно уметь ее выводить. При повторении вопросов теории необходимо производить фронтальные беседы и опрос учащихся; проводить больше уроков, где учащиеся самостоятельно будут решать задачи, при этом необходимо обращать внимание учащихся на качество выполнения рисунков к задачам. Следует требовать от учащихся устного рассказа о ходе построения с соответствующими обоснованиями, с целью развития устной речи учащихся.Список литературыАбликсановаЮ.Понятиеплощади.Площадьквадрата//Математикавшколе.-2002.-№4.-С.23-24.БескинН.М.Методикагеометрии:учебникдляпедагогическихинститутов/Н.М.Бескин.-М.:Государственноеучебно-педагогическоеиздательствоМинистерстваПросвещенияРСФСР,1947.-278с.БурмистроваТ.А.Геометрия.Сборникрабочихпрограмм.7-9классы.—М.:2011.-95с.Геометрия.7-9классы:учеб.дляобщеобразовательныхучреждений/[Л.С.Атанасян,В.Ф.Бутузов,С.Б.Кадомцевидр.]-20-еизд.-М.:Просвещение,2010.-384с.КазаковаМ.А.Методикаизучениеплощадейгеометрическихфигурвкурсематематики3-9классов:Дис.канд.пед.Наук.-Карачаевск,2006.-160с.КарасевП.А.Элементынагляднойгеометриившколе:пособиедляучителей/П.А.Карасев.-М.:Государственноеучебно-педагогическоеиздательствоМинистерстваПросвещенияРСФСР,1955.-212с.МалыхА.Е.Площадигеометрическихфигур:учеб.пособие/А.Е.Малых,М.И.Глухова:Перм.гос.пед.ун-т.-Пермь,2011.-108с.Методикаитехнологияобученияматематике.Курслекций:пособиедлявузов/поднаучн.Ред.Н.Л.Стефановой,Н.С.Подходовой.-М.:Дрофа,2005.-416с.Методикапреподаванияматематикивсреднейшколе.Частнаяметодика:Учеб.пособиедлястудентовпед.ин-товпофиз.-мат.спец./А.Я.Блох,В.А.Гусев,Г.В.Дорофеевидр.;Сост.В.И.Мишин.-М.:Просвещение,1987.-416с.МищенкоТ.М.Дидактическиематериалыиметодическиерекомендациидляучителяпогеометрии:9класс:кучебникуФ.В.Погорелова«Геометрия.7-9классы».ФГОС(кновомуучебнику)/Т.М.Мищенко.-М.:Издательство«Экзамен»,2015.-157с.МищенкоТ.М.МетодическоепособиекучебникуИ.Ф.Шарыгина«Геометрия.7-9классы».ФГОС(кновомуучебнику)/Т.М.Мищенко.-М.:Дрофа,2013.-368с.ОвчинниковаЕ.Е.Использованиеметодаплощадейиобъемовприрешениишкольныхгеометрическихзадач:Дис.канд.пед.наук.-Москва,2002.-133c.ПогореловА.В.Геометрия.7-9классы:учеб.дляобщеобразоват.организаций/А.В.Погорелов-2-еизд.-М.:Просвещение,2014.-240с.Примернаяосновнаяобразовательнаяпрограммаосновногообщегообразования.Одобренарешениемфедеральногоучебнометодическогообъединенияпообщемуобразованию/М-вообразованияинаукиРФ.-М.:Просвещение,2015.-560с.URL:http://fgosreestr.ru/wp-content/uploads/2015/06.pdf(датаобращения22.05.2016)РогановскийН.М.Поисковыезаданияпогеометрии//Математикавшколе.-1990.-№5.-С.22-26.СаранцевГ.И.Общаяметодикапреподаванияматематики:Учеб.пособиедлястудентовмат.спец.пед.вузовиуниверситетов.-Саранск:Тип.«Красс.Окт.»,1999.-208с.СарвановаЖ.А.Совокупностьзадачдляобученияучащихсяосновнойшколыприменениюметодаплощадейприрешениигеометрическихзадач//Учебныйэкспериментвобразовании.-2015.-№4(76).-С.34-39.URL:http://elibrary.ru/download/60248391.pdf(датаобращения8.02.2016).СмирноваИ.М.Геометрия.7-9классы:учеб.дляобразоват.учреждений/И.М.Смирнова,В.А.Смирнов.-3-еизд.,стер.-М.:Мнемозина,2008.-376с.СмирноваИ.М.Геометрия.7-9классы.Программаитематическоепланирование/И.М.Смирнова,В.А.Смирнов-Москва,2012.-44с.СыяповаЛ.К.Площадьтрапеции-формулойПика//Информацияиобразование:Границыкоммуникаций.-2015.-№7.-С.223-224.URL:http://elibrary.ru/download/15172860.pdf(датаобращения8.02.2016).ТараненкоВ.И.Впомощьсоставителямзадачпотеме«Площадьтреугольника»//Математикавшколе.-1993.-№3.-С.20-22.ТемербековаА.А.,ЧугуновИ.В.,БайгонаковаГ.А.Методикаобученияматематике:учеб.пособиедлястуд.высш.учеб.заведений.-Горно-Алтайск:РИОГАГУ,2013.-365с.Федеральныйгосударственныйобразовательныйстандартобщегоосновногообразования/М-вообразованияинаукиРФ.-М.:Просвещение,2010.-50с.URL:http://минобрнауки.рф/документы/938(датаобращения14.04.2016).Федеральныйинститутпедагогическихизмерений.-URL:http://fipi.ru/(датаобращения9.04.2016).ЧавчанидзеА.Ш.ЕщеодинвариантформулыГерона//Математикавшколе.-2000.-№10.-С.20-21.ЧичигинВ.Г.Методикапреподаваниягеометрии.Планиметрия:пос.дляучителейсредн.школы.-М.:Государственноеучебн.-педагогич.издательствоминистерствапросвещенияРСФСР,1959.-392с.ШарыгинИ.Ф.Геометрия.7-9кл.:учеб.дляобщеобразоват.учеб.завед./И.Ф.Шарыгин.-М.:Дрофа,2012.-462с.ЭрленбушН.Ю.Приемырешениязадачпотеме«Площадифигур».9класс.[Электронныйресурс]/Н.Ю.Эрленбруш.-URL:http://festival.1september.ru/articles/553795/(датаобращения25.11.2015).ЯщенкоИ.В.Математика.9класс.ОГЭ.Типовыетестовыезадания/И.Р.Высоцкий,Л.О.Рослова,Л.В.Кузнецоваидр.подредакциейЯщенкоИ.В.,Москва:Издательство«ЭКЗАМЕН»,2015.-81с.Приложение 1Площади геометрических фигурКонфигурацияНазвание фигурыФормулаПравило  Треугольник      Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.  Треугольник     Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.   Треугольник    Площадь треугольника равна корню квадратному из произведения полупериметра этого треугольника и разностей полупериметра и всех его сторон.   Треугольник     Площадь треугольника равна отношению произведения квадрата его стороны на синусы прилежащих углов к удвоенному синусу противолежащего угла.     Треугольник      Площадь треугольника равна отношению произведения квадрата его высоты на синус угла, из вершины которого проведена эта высота, к удвоенному произведению синусов двух других углов.    Треугольник      Площадь треугольника равна произведению квадрата его полупериметра на тангенсы половин всех углов треугольника.   Прямоугольный треугольник     Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.   Равнобедренный треугольник      Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения его основания на корень квадратный из разности квадратов боковой стороны и половины основания.   Равносторонний треугольник      Площадь равностороннего треугольника равна четверти произведения квадрата стороны этого треугольника и квадратного корня из трёх.   Равносторонний треугольник      Площадь равностороннего треугольника равна отношению квадрата его высоты к квадратному корню из трёх.    Треугольник     Площадь треугольника равна отношению произведения всех его сторон к четырём радиусам, описанной около него окружности.   Треугольник      Площадь треугольника равна удвоенному произведению квадрата радиуса, описанной около него окружности, и синусов всех его углов.   Треугольник     Площадь треугольника (многоугольника) равна произведению его полупериметра и радиуса окружности, вписанной в этот треугольник (многоугольник).     Треугольник       Площадь треугольника равна произведению квадрата радиуса вписанной окружности на котангенсы половин всех углов треугольника.  Прямоугольник     Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних его сторон.   Квадрат    Площадь квадрата равна квадрату его стороны.   Квадрат     Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали.   Параллелограмм     Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.   Параллелограмм     Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними.   Ромб      Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус одного из его углов.     Ромб (дельтоид)     Площадь ромба (как и дельтоида) равна половине произведения его диагоналей.   Трапеция     Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.   Трапеция      Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.    Выпуклый четырёхугольник     Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.    Вписанный четырёхугольник    Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, равна корню квадратному из произведения разностей полупериметра этого четырёхугольника и всех его сторон.   Круг     Площадь круга равна произведению числа "пи" на квадрат радиуса.   Круг      Площадь круга равна четверти произведения числа "пи" на квадрат диаметра.   Круговой секторформулы для случаев градусной и радианной мер центральных угловПлощадь кругового сектора равна произведению площади единичного сектора (сектор, соответствующий центральному углу с мерой равной единице) на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.  Круговое кольцо       Площадь кругового кольца равна произведению числа "пи" на разность квадратов внешнего и внутреннего радиусов.   Круговое кольцо      Площадь кругового кольца равна четверти произведения числа "пи" на разность квадратов внешнего и внутреннего диаметров.   Круговое кольцо     Площадь кругового кольца равна удвоенному произведению числа "пи", среднего радиуса кольца и его ширины.