Матрицы

Взяв любое, построим детерминант:и докажем прежде всего, что при любом i он равен нулю. В самом деле, если, то этот детерминант имеет две одинаковые строки — наи месте — и поэтому равен нулю.Если же, то есть детерминант некоторого минора порядка матрицыА, и он равен нулю, так как ранг матрицыА по предположению есть. Итак,при любом .Разложим детерминантпо элементам последней строки. Коэффициенты этого разложения суть адъюнкты элементовстроки детерминанта, а именно:наконец,— адъюнкта последнего элементав строке.Существенно, что эти коэффициенты не зависят от, поэтому их и можно было обозначать через . Мы имеем(для любого )Эти соотношения, написанные для всех, выражают равенство:в котором заведомо коэффициентотличен от нуля и которое поэтому можно разрешить относительно:Мы представили произвольный столбец матрицыв виде линейной комбинации первыхrстолбцов этой матрицы и этим закончили доказательство теоремы о ранге матрицы. [6]2.4 Теорема Кронекера-КапеллиРассмотрим систему из m уравнений с n неизвестными.Эту систему уравнений мы так же можем записать кратко:(5)Система задается своей расширенной матрицей A∗, получаемой объединением матрицы системы A и столбца свободных членов b.Простое и эффективное условие, необходимое и достаточное для совместности системы(5), дает следующая теорема, называемая теоремой Кронекера-Капелли.Теорема линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.Иначе утверждение теоремы можно сформулировать так: приписывание к матрице A размеров m×n столбца b высоты m не меняет ее ранга тогда и только тогда, когда этот столбец – линейная комбинация столбцов A.Доказательство:Если RgA∗=RgA, то базисный минор Aявляется базисным и для A∗. Следовательно, bраскладывается по базисным столбцам A. Мы можем считать его линейной комбинацией всех столбцовA, добавив недостающие столбцы с нулевыми коэффициентами.Обратно, если b раскладывается по столбцам A, то элементарными преобразованиями столбцов можно превратитьA∗ в матрицу A0, получаемую из Aприписыванием нулевого столбца. Из утверждения о том, что ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях, следует RgA0=RgA∗. С другой стороны, RgA0=RgA, так как добавление нулевого столбца не может создать новых невырожденных подматриц. Отсюда RgA=RgA∗, как и требовалось.[1]3 ПримерыТеперь приведем примеры использования выше описанных теорем, но также приведем примеры решения задач по нахождению ранга матрицы и определителя матрицы.1) Определитель матрицыВычислить определитель:Решение:Решим по правилу треугольника.-0Ответ:2) Ранг матрицыНайти ранг матрицы A:Решение:Определим минор второго порядка Окаймляющих минор будет несколько, а именно четыре:Следовательно, все окаймляющие миноры третьего порядка равны 0, поэтому можно с уверенностью сказать, что ранг матрицы равен 2.Ответ:3) Элементарные преобразования матрицыИспользуя элементарные преобразования строк преобразовать матрицу A в верхнюю треугольную матрицу, гдеРешение:поменяем первую и вторую строку местамико 2-рой строке прибавим 1-вую, умноженную на -4; к третей строке прибавим первую2-рую строку поделим на -2, третью строку делим на 6поменяем вторую и третью строку местамик 3-тей строке прибавим 2-рую, умноженную на -5Ответ:4) Теорема об обобщенно-канонической матрицеПривести к каноническому виду квадратичную форму:Решение. Выпишем матрицу A квадратичной формы:Диагонализация матрицы A квадратичной формы происходит в ОНБ из собственных векторов. Если C – матрица перехода к такому базису, то координаты вектораX в разных базисах связаны между собой соотношением:Где в столбцах матрицы C находятся координаты векторов ОНБ из собственных векторов, соответствующих собственным значениям.Составим характеристическое уравнение:Значит, собственные значения.Найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям.При, откуда получаем однородную систему уравнений: тогда.При ,т. е. тогда .При, откуда получаем однородную систему уравнений:Из системы следует, что  – свободная переменная. Примем , тогда:Векторы . попарно ортогональны (в этом легко убедиться непосредственно!), тогда ОНБ составят векторы:Матрица C перехода от ОНБ {i,j,k} к ОНБ {}примет вид:Замечание. О том чтобы матрица Cоказалась симметрической, следует помнить при построении собственных векторов.Формулы перехода от координат  к координатам Канонический вид заданной квадратичной формы:Подстановкой приведенных формул преобразования координат в заданную квадратичную форму можно убедиться в правильности проведенных вычислений. [10]Ответ:.5) Теорема Кронекера-КапеллиПроверить, совместна ли система, если система уравнений совместна, то найти решения:Выпишем основную и расширенную матрицы заданной системыВычислим ранги этих матриц с помощью элементарных преобразований строк. Рассмотрим расширенную матрицу . Первую строку оставим без изменения, ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-1), получим:Далее первую строку оставим без изменения, третью строку сократим на (-2) и переставим вторую и третью строки, получим:Первые две строки оставим без изменения, к третьей прибавим вторую, умноженную на 4:Таким образом, матрицы A и имеют по три линейно независимые строки, поэтому их ранги равны. По теореме Кронекера-Капелли, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрице и равен количеству неизвестных, то данная система имеет единственное решение. Найдем его. Для этого, используя последнюю матрицу, перейдем к системе уравнений:Вычислим последовательно значения неизвестных. Из последнего уравнения получаем, что z=2. Подставляя это значение неизвестной во второе уравнение, будем иметь:Теперь подставим значения найденных неизвестных в первое уравнение:Ответ:ЗАКЛЮЧЕНИЕВ ходе выполнения курсовой работы мы познакомились с тем что из себя представляют матрицы. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры, используются в математическом анализе при интегрировании систем дифференциальных уравнений.Курсовая работа была направлена на изучение основных понятий и определений об матрицах и изучении основных теорем, которые помогают в решении задач. В ходе выполнения так же были достигнуты все цели и выполнены все задачи, которые были поставлены в начале курсовой работы. Для более точного понимания темы нашей курсовой работы в третьей главе были приведены примеры решения задач с матрицами, с подробным разбором решения.Подводя итог курсовой работы можно сказать, что знание этих базовых вещей о матрицах помогут не только в линейной алгебре и математическом анализе, но и так же в других дисциплинах, в которых используются матрицы. Одной из таких дисциплин является программирование, в программирование довольно зачастую используются матрицы.Список литературыОбщая теория систем линейных уравнений. URL: https://univerlib.com/analytic_geometry/matrices_and_systems_of_linear_equations/common_theory_of_linear_equations_systems/. Дата обращения: 29.12.2020.Шихобалов Л. С. Матрицы и определители. – СПб., 2015. – 55 с.Математика. Матрицы. Введение. URL: https://zen.yandex.ru/media/id/5c764fc306dc8700b30ed31a/matematika-matricy-vvedenie-5cef752e3be90a00af76852b. Дата обращения: 28.12.2020.Ранг матрицы: определение, методы нахождения, примеры, решения. URL: http://www.cleverstudents.ru/matrix/rank.html#definition_of_rank. Дата обращения: 28.12.2020.Определитель, детерминант матрицы. URL: http://ru.solverbook.com/spravochnik/matricy/opredelitel-determinant-matricy/ю Дата обращения: 28.12.2020.Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука., 1968. - 912 с.Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения: Учебное пособие для вузов.—4-е изд., испр,— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 392 с.Теорема о приведении 𝜆 – матрицы к каноническому виду. URL: https://lektsii.net/3-165832.html. Дата обращения: 29.12.2020.Матрицы, её строчный и столбцевой ранги URL: https://cyberpedia.su/14xa401.html. Дата обращения: 29.12.2020. Квадратичные формы. приведение квадратичных форм к каноническому виду. критерий сильвестраURL: http://matica.org.ua/primery/primery/kvadratichnye-formy-privedenie-kvadratichnykh-form-k-kanonicheskomu-vidu-kriterii-silvestra. Дата обращения:29.12.2020.