Элективный курс: ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ

Самостоятельная работа8Числа Каталана19-10Разработка и зашита творческих работ2Работа с интернет ресурсами (http:''oeis.org). Групповая работаПредставление творческих работДля каждого занятия элективного курса представлен исторический материал по теме, упражнения для коллективной и самостоятельной работы. Рассмотрим в качестве примера структуру и содержание занятия по темеХодзанятия1.Организационныйэтап(5мин).Сообщениетемыицелейзанятия.2.Проверкадомашнегозадания(разборнерешенныхзадач).(10мин).3.Актуализацияопорныхзнаний(10мин).Задание:Вычислить,.Разложитьвмногочлен:.4.Практическаяработа(40мин).Напрошломзанятиимызаметили,насколькорационализируетсяработаповозведениюдвучленавстепень,еслииспользоватьбиномНьютона.Нонасамомделенашуработуможноещёупростить.Достаточнодолгомывычислялибиномиальныекоэффициенты,акоэффициенты–этосочетания.Посмотритевнимательно,вселисвойствасочетаний,которыебылиранеевведены,мыиспользовали?Свойствоосталосьневостребованным,именноегоиспользуютприпостроениитреугольникаПаскаля.Определение:ТреугольникПаскаля-этотреугольник,составленныйизчисел,являющихсякоэффициентамивформулебиномНьютона.Каждыйкрайнийэлементравен1,акаждыйнекрайнийэлементравенсуммедвухсвоихверхнихсоседей.Треугольникможнопродолжатьдобесконечности,нонапрактикечащесоставляюттаблицудляпервых10степеней.ТреугольникПаскалядляnот1до10.nk1k2k3k4k5k6k7k8k9k10k1111121213133141464151510105161615201561717213535217181828707056288191936126126126843691101104521021025221012045101Задания:1)СоставьтеформулыбиномаНьютона,используяпервую,вторуюитретьюстроки.Для–получаетсявполнеестественноетождество.Для;Для;Какойвыводвысможетесделать?ИзвестныеформулыквадратаикубасуммыилиразностидвухвыраженийявляютсячастнымслучаемформулыбиномНьютонадля.2).Дополнительныйуровень.Свернитесуммувстепеньдвучлена,еслиэтовозможно:.Решение:,.Предположим,чтоданнаясуммаявляется.Тогдавтороеслагаемоедолжнобытьравно,т.е.даннаясумманеможетбытьстепеньюдвучлена.Итак,допущенаошибка.Ответ:даннаясумманеможетбытьстепеньюдвучлена.Самостоятельнаяработа(15мин).1.Представьтестепеньдвучленаввидемногочлена,используябиномНьютонаитреугольникПаскаля:а);б).2.Найтизначениевыражения.Решение:1а)1б)2.5.Подведениеитогов(10мин).Домашнеезадание.Свернутьсуммувстепеньдвучлена,еслиэтовозможно1.2..Дополнительныйуровень:Решитьуравнение,используяформулучисласочетаний.2.3. Результаты апробации элективного курса и методические рекомендации по его реализацииВ нашем исследовании мы рассматриваем формирование математической культуры как интегративный результат, и поэтому полезны для нашего исследования является работы А. Г. Магомедова (использование информационных технологий в формировании математической культуры старшеклассников) [3], А. В. Артебякиной (формирование математической культуры студентов педагогических ВУЗ) [1], П. А. Батчаев (устные упражнения как один из способов формирования математической культуры учащихся V-IX классов) [2], С. А. Розановой (формирование математической культуры студентов технических вузов) [4] и т.В ходе исследования изучалась динамика уровня сформированности математической культуры обучающихся средних классов с помощью построения учебного процесса на основе использования элективного курса при изучении курса алгебры и начал анализа путем проведения срезов по итогам каждого этапа обучения. Результаты опытно-экспериментальной работы обрабатывали на компьютере с помощью методов описательной статистики по программе Excel из пакета Microsoft Office 2010.В процессе экспериментальной работы для каждого класса были определены свои условия: в ЭГ проверялась эффективность системно-деятельностного подхода формирования математической культуры; в ЭК-2 проверялись все условия, среди которых эффективность системно-деятельностного подхода, а также оптимальное сочетание форм, методов и средств в учебно-познавательной деятельности.В обучение контрольного класса изменения не вносились - ученики учились по принятой общеобразовательной методике и без выделенных нами условий протекания учебного процесса, которое предусматривало отсутствие целенаправленной работы по формированию математической культуры старшеклассника.Цель формирующего этапа экспериментальной работы заключалась в том, чтобы проверить эффективность предложенной методической системы использования математических утверждений для формирования математической культуры обучающихся средних классов.При этом в качестве критериев сформированности математической культуры обучающихся средней школы нами использовались: объем и качество математических знаний и умений; объем и качество умений математической самообразования; уровень владения языковой математической культурой.Считаем по целесообразно привести результаты только третьего среза по всем выделенным критериям. Результаты последнего (третьего) среза по объему и качеству математических знаний и умений представлены в таблице 1.Таблица 1Сравнительные данные объема и качества математических знаний и умений уобучающихся средней школы (третий срез)классКоличество учениковуровень сформированностиначальныйсреднийдостаточныйвысокийКол-во%Кол-во%Кол-во%Кол-во%УК22731,8731,82627,2729,09ЭГ23313,0521,74730,43834,78Показатели нулевого и третьего среза по объему и качеству математических знаний и умений показывают, что произошли качественные изменения во всех классах. Например, в ЭГ увеличилось количество работ, которые соответствуют начальному уровню (на 34,78%); также в ЭГ увеличилось число работ достаточного уровня (на 26,08%). В КГ тоже произошли изменения: работ, которые соответствуют начальному уровню, стало меньше на 36,36%, а количество работ достаточного и высокого уровня увеличилось на 27,27% и на 9,09% соответственно.Сравнивая результаты нулевого и третьего срезов по объему и качеству умений математической самообразования, мы заметили, что количество работ, которые соответствуют высокому уровню, в ЭГ увеличилась на 26,09%. При этом сократилось число работ начального уровня в ЭГ на 47,82%. В контрольном классе произошло уменьшение количества учащихся, имеющих за свои работы два и три балла на 9,09% и незначительное увеличение числа работ высокого уровня. Результаты третьего среза по данному критерию приведены в таблице 2.Таблица 2Сравнительные данные объема и качества умений математической самообразования обучающихся средних классов (третий срез)классКоличество учениковуровень сформированностиначальныйСредниедостаточныйвысокийКол-во%Кол-во%Кол-во%Кол-во%КГ22731,82836,36522,7329,09ЭГ2328,70730,43834,78626,09Анализ полученных результатов нулевого и третьего срезов по овладению языковой математической культуры показал, что в ЭГ на 34,78% сократилось число обучающихся, работы которых соответствовали начальному уровню. А в контрольном классе увеличилось количество работ достаточного уровня на 27,27%. Эти результаты можно увидеть в таблице 3.Таблица 3Сравнительные данные по овладению языковой математической культуры обучающихся (третий срез)классКоличествоучениковуровень сформированностиначальныйСредниедостаточныйвысокийКол-во%Кол-во%Кол-во%Кол-во%КГ22627,27627,27731,82313,64ЭГ2328,70521,74834,78834,78Совокупность результатов по данным критериям позволила нам определить уровни сформированности математической культуры учащихся средних классов экспериментальных и контрольных классов.Анализ результатов первых трех срезов дает возможность утверждать, что произошел значительный количественный рост учеников экспериментальных классов, который обусловлен использованием разработанной нами системы формирования математической культуры в определенных условиях. Также изменения происходят и в контрольном классе, но они незначительны.Результаты обработки данных для всех критериев и уровней сформированности математической культуры с помощью хи-квадрата свидетельствуют об их воспроизводимость практически со 100% вероятностью.Обобщенные результаты опытно-экспериментальной работы отражены в таблице 4 и на рис. 1.Таблица 4Сравнительная таблица уровней сформированностиматематической культуры учащихся средних классовконстатирующий экспериментклассКоличествоучениковУровненачальныйсреднийдостаточныйвысокийКол-во%Кол-во%Кол-во%Кол-во%КГ221150,0940,914,5514,55ЭГ231252,171043,4814,3500Контрольный экспериментклассКоличествоучениковУровненачальныйсреднийдостаточныйвысокийКол-во%Кол-во%Кол-во%Кол-во%КГ22731,82731,82627,2729,09ЭГ2328,70626,09834,78730,43Результаты экспериментального исследования доказывают, что в результате реализации и внедрения использования элективного курса для формирования математической культуры учащихся средних классов в экспериментальных классах произошли положительные изменения. Общие количественные результаты в ЭГ увеличились по высокому (на 30,43%), достаточным (на 30,43%) уровнями и уменьшились по средним ( на 17,39%), низким (на 43,47%).В контрольном классе состоялись незначительные положительные изменения - общие количественные результаты несущественно выросли за высоким (на 4,54%), достаточным (на 22,72%) уровнями и уменьшились по средним (на 9,08%), низким (на 18,18 %). Сравнительные результаты экспериментальной работы подтверждают эффективность внедрения методической системы использования математических утверждений для формирования математической культуры учащихся средней школы.Анализируя результаты опытно-формирующего этапа эксперимента, можно сделать выводы, что в экспериментальных классах произошли качественные изменения на уровне сформированности компонентов математической культуры обучающихся. Наиболее ярко их можно проследить в ЭГ, где проверялась вся совокупность педагогических условий эффективности функционирования методической системы формирования математической культуры: использование системно-деятельностного подхода; использование системы задач на доказательство математических утверждений при обучении курса алгебры и начал анализа; использования компьютерных средств в обучении; оптимального сочетания форм, методов и средств в учебно-познавательной деятельности обучающихся.Рекомендации:В ходе занятий может быть рассмотрен материал о биографии математиков, предварительно подготовленный самими учащимися. На итоговых занятиях учащимся предлагается выполнить творческую работу и презентовать ее классу. Темы для творческих проектов: 1) последовательность простых чисел; 2) последовательность Фарея; 3) числа, у которых есть имена; 4) числа с фантастическими названиями и другие. Треугольником Паскаля называют числовую таблицу треугольнойформы, начало которой показано выше. Строится она следующим образом: в ≪вершине≫ треугольниказаписывается единица; в строке ниже записываются две единицытак, чтобы верхняя единица оказалась между ними; каждая следующаястрока начинается и оканчивается единицей, а любое промежуточноеее число получается сложением чисел предыдущей строки,расположенных слева и справа от него.Строки таблицы получаются последовательно одна за другой.Их принято нумеровать так, как показано на рисунке. Чтобыполучить, например, пятую строку, придется построить первыечетыре, а для получения десятой строки нужно будет записать первыедевять. Понятно, что в принципе можно получить сколькоугодно строк; иными словами, эта треугольная таблица бесконечна.Таблица, которую мы описали, обладает многими удивительнымисвойствами. Известна она была еще ученым Древней Индии.Ее открывали заново и изучали многие математики. А названа онатреугольником Паскаля в честь выдающегося французского математикаи философа Блеза Паскаля (1623—1662), который посвятилей свое сочинение ≪Трактат обарифметическом треугольнике≫.Для чисел — элементов треугольника Паскаля существуетстандартное обозначение. Положение любого элемента определяетсядвумя координатами: номером строки и номером места в этойстроке. (Нумерация элементов в строке, как и самих строк, начинаетсяс 0.) Треугольник Паскаля самым непосредственным образом связанс важной алгебраической формулой. Она я в л я е т с я обобщениемизвестных вам формул квадрата и куба суммы двух чисел и позволяетразвернуть в многочлен выражение (а + b)п для любогонатурального п.Нетрудно видеть, что коэффициенты многочленов получаются точно по тому же закону, по какому строился треугольник Паскаля. Таким образом, строки треугольника Паскаля дают нам биномиальные коэффициенты, т. е. коэффициенты многочлена, который получается при возведении двучлена а + bв степень с натуральным показателем.Зная это, попробуем записать формулу, по которой можно представить в виде многочлена выражение (а + b)п, где n — произвольное натуральное число. Таким образом, строки треугольника Паскаля дают нам биномиальные коэффициенты, т. е. коэффициенты многочлена, который получается при возведении двучлена а + bв степень с натуральным показателем.Заметим, что формула бинома Ньютона позволяет представить в виде многочлена степень любого двучлена. ЗАКЛЮЧЕНИЕРабота по построению по выбору по математике в профильной школе должна строиться на основе научно обоснованных принципов с учетом: полученных знаний, а также умений и навыков, приобретенных учащимися в процессе изучения математики на предыдущих ступенях общеобразовательной школы, их опыта взаимодействия с окружающим миром, а также принципов отбора инвариантного содержания математики в профильной школе;индивидуальных особенностей и потребностей учащихся; современных социальных заказов по личным качествам выпускников, способных эффективно взаимодействовать в выполнении социальных, производственных и экономических задач.Приведенные педагогические условия, как по отдельности, так и в комплексе, способствуют формированию математической культуры старшеклассников. Таким образом, рост требований, которые к концу формирующего эксперимента предъявлялись к старшеклассников и к организации учебного процесса связано с овладением математическими знаниями, умениями и навыками, обеспечивающими ученикам успешность осуществления математической деятельности.В результате целенаправленного развития умений старшеклассников оперировать знаниями и умениями в теме «Последовательности», касающихся арифметической, геометрической прогрессии и треугольника Паскаля повысился нетолько их общий уровень знаний по алгебре и началам анализа, но и, что самое главное, для нас - уровень математической культуры.СПИСОК ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВWeisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) насайте Wolfram MathWorld. Азиев А. И. «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Издательский дом «Первое сентября», газета «Математика» № 23, 2004 г. Актуальные проблемы качества математической подготовки школьников и студентов: методологический, теоретический и технологический аспекты [Текст]: материалы VI Всероссийской с международным участием научно-методической конференции - Красноярск : КГПУ им. В. П. Астафьева. - 2018.-202 с.Алгебра 9 класс. /Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./2014 г. 3. Алгебра. 9 класс. Задачник (повышенный уровень)/ Звавич Л .И., Рязановский А.Р., Семенов П.В. / 2008 г. Алгебра. 9 класс. Задачник./ Мордкович А.Г. /2010 г. Алгебра. 9 класс. Учебник для углубленного изучения. / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., и др./ 2008 г. Алгебра. 9 класс. Учебник. (повышенный уровень)/ Мордкович А.Г., Николаев Н.П., /2008 Алгебра. 9 класс. Учебник./ Алимов Ш.А. и др. /2010 г. Алгебра. 9 класс. Учебник./ Мордкович А.Г. /2010 г. Алгебра. 9 класс. Учебник/ Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. / 2013 г. Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений [текст]/ К.С.Муравин, Г.К.Муравин, Г.В.Дорофеев. – М.: Дрофа, 2000. – 240 с. Алгебра. 9кл. Учебник. /Макарычев Ю.Н, Миндюк Н.Г, Нешков К.И, Суворова С.Б. (под редакцией Теляковского С.А.) / 2009 г. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягии и др. М., 2000. 256 с. Асмолов А. Г. Системно - деятельный подход к разработке стандартов нового поколения. // Педагогика.- 2009.-№4.- С.18-22. Бабанскиий Ю. К., Оптимизация учебно-воспитательного процесса: Методические основы. М., 1982. 192 с. Блох, А.Я. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика [Текст]: учебное пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат.спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 416 с. Бурмистрова, Т.А. Алгебра. Сборник рабочих программ. 7 – 9 клас-сы [Текст]: пособие для учителей общеобразовательных организация/ Т.А. Бурмистрова. – 2-е изд., доп. – М.: Просвещение, 2014. – 96 с. Буфеев С.В. Коллекция задач по арифметике целых чисел. - М.: Книжный дом «Либроком», 2013 г. 65 Виноградова, Л. В. Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: учеб. пособие / Л.В. Виноградова. - Ростов н/Д.: Феникс, 2005. - 252 с. Глейзер, Г.И. История математики в школе 9-10 классов: пособие для учителей / Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение, 1853. - 351 с. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2017 г. [Электронный ресурс]. – Электрон. текст. дан. – Москва: ФИПИ. – 2013. – Режим доступа: www.fipi.ru, свободный. Епифанова, Н.М. Методика обучения алгебре основной школы [Текст]: учебно-методическое пособие / Н.М. Епифанова, О.П. Шарова. - Ярославль: изд-во ЯГПУ имени К.Д. Ушинского, 2006. - 83 с. Зеленский А.С., Панфилов И.И. Решение уравнений и неравенств с модулем. – М.: Научно – технический центр «Университетский»: Универпресс, 2009 г. Колягин, Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учебное пособие для студентов физ.-мат. Фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин. - Москва : Просвещение, 1977. - 480с. Кравчук, Д.Н., Кравчук Е.В., С.И. Клемина. Сборник задач по математике с решениями / Д.Н. Кравчук. – Изд. ПКФ «БАО» Донецк, 1997. Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с. Математика. ОГЭ (ГИА)–2015. Сборник заданий. /Лаппо Л.Д., Попов М.А. / 2014 г.Методика обучения математике. Формирование приемов математического мышления [Текст] : учебное пособие для СПО / [Н. Ф. Талызина, Г. А. Буткин, И. А. Володарская и др.]; под ред. Н. Ф. Талызиной. - Москва :Юрайт, 2018. - 192 с.Мордкович А.Г. Алгебра 7 - 9кл. Методическое пособие для учителя, М: Мнемозина, 2001г. Мордкович. А.Г. Алгебра 9кл. Учебник. М.: Мнемозина, 2009 г. Оганесян В. А. Принципы отбора основного содержания обучения математике в средней школе [Текст] / В. А. – Ер. : Луис, 1984. – 215 с.Покровский, В. П. Методика обучения математике: функциональная содержательно-методическая линия / В. П. Покровский. - Владимир : Изд-во ВлГУ, 2014. - 143с. Полякова Е.А. Уравнения и неравенства с параметрами в профильном 11 классе. Методические рекомендации и поурочное планирование. – М.: Илекса, 2010. Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней. – Ростов – на – Дону: Легион, 2012 г.Сорокина, Е.С. Союз арифметической и геометрической прогрессий в обучении / Е.С. Сорокина, П.С. Коркина И Успехи современного естествознания. - 2012. -№5. - С. 89-90.Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: .: Книжный дом «Либроком», 2009 г. Треугольник Паскаля. В. А. Успенский. - 2 - е изд. – М.: Наука, 1979. – 48с.Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft № 10 2003Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17-25. Харламов И. Ф. Педагогика: Учебник. - 5-е изд., перераб. и доп. / И.Ф. Харламов. - Москва : Гардарики, 1999. - 520 с.Шарыгин, И.Ф. Математика для школьников старших классов /И.Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа. – 1995 г.Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.