Методика обучения решению задач по теме «Окружность»

На четвертом этапе учащимся предложим теоретический материал в графической форме (рисунок 17 и 18). Использование таких графических материалов способствует, развитию визуального мышления учащихся способствует большое количество иллюстрации и наглядности.Как отмечает Л. М. Фридман: «наглядность – это показатель простоты и ясности для данного человека того мыслительного образа, который ассоциируется у него в результате восприятия в памяти» [8].Следовательно, использование графического представления теоретического материала, поспособствует его запоминанию. Методику обучения решения задач по теме «Вписанные и описанные многоугольник», будем выстраивать по тому же методу «В три приема», рассмотренного в параграфе 2.1.Рисунок 17Рисунок 18Обучение решению задач по теме «Вписанные многоугольники», начнем с рассмотрения «Ключевой задачи»[6].Найдите углы вписанного четырехугольника, если два его угла равны 1000 и 1100.1 этап: Формируем краткое условие задачи, выбираем, что дано, а что нужно доказать.2 этап: По нашей классификации это задача вычислительного характера на вписанные и описанные окружности.3 этап: Построение чертежа задачи (рисунок 19).Рисунок 194 этап: На основе рисунка 17, выбираем нужный теоретический факт, то есть сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равно 1800. 5 этап: Проговариваем с учащимся ход решения задачи. Зная, что сумма противоположных углов равна 1800, можем найти остальные углы.6 этап: Запишем решение. А + С = 1800С = 1800 – 1000 = 800. В +D = 1800В = 1800 – 1100 = 700.7 этап: Полученное решение удовлетворят требованиям условия.8 этап: Ответ: С = 800, В = 700.9 этап: Данное решение задачи является самым рациональным. В основе лежит свойство вписанных многоугольников.«Комбинированная задача». Выпуклый четырехугольник ABCD со сторонами AB = 9, BC = CD = 11, AD = 15 и диагональю AC = 16, вписан в окружность. Найдите ВD.1 этап: Формируем краткое условие задачи, выбираем, что дано, а что нужно доказать.2 этап: По нашей классификации это задача вычислительного характера на вписанные и описанные окружности.3 этап: Построение чертежа задачи (рисунок 20).Рисунок 204 этап: На основе рисунка 17, выбираем нужный теоретический факт, то есть сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равно 1800. 5 этап: Проговариваем с учащимся ход решения задачи. Зная, что сумма противоположных углов равна 1800, можем выразить их косинусы, а ВD найти по теореме косинусов..6 этап: Запишем решение.Обозначим ВD = х, С = , А = α, тогда по свойству вписанных многоугольников, α = 1800 - . Следовательно, cosα = -cos.По теореме косинусов из ∆BCD: , из ∆ABD: . Приравниваем правые части этих выражений: Тогда найдем х: .7 этап: Полученное решение удовлетворят требованиям условия.8 этап: Ответ: ВD = 16,5.9 этап: Данное решение является не единственным, так же можно решить задачу, используя теорему Птолемея.«Самостоятельная задача». На данном этапе учащимся предложим дифференцированные задачи, причем учащиеся решающие задачу уровня А, могут пользоваться и схемой решения задач и теоретическим материалом (рисунок 17). Учащиеся работающие с уровнем В могут пользоваться только теоретическим материалом, а учащиеся, решающие уровень С, работают сами. Уровень А. Найдите углы вписанного четырехугольника, если два его угла равны 850 и 1170.Решение:Построение чертежа задачи (рисунок 21).Рисунок 21 А + С = 1800С = 1800 – 1170 = 630. В +D = 1800В = 1800 – 850 = 950.8 этап: Ответ: С = 630, В = 950.Уровень В. Выпуклый четырехугольник ABCD со сторонами AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8 и диагональю ВD= 7, вписан в окружность. Найдите AC.Решение:Построение чертежа задачи (рисунок 22).хРисунок 22Обозначим АС = х, B= , D = α, тогда по свойству вписанных многоугольников, α = 1800 - . Следовательно, cosα = -cos.По теореме косинусов из ∆АBC: , из ∆ADC: . Приравниваем правые части этих выражений: Тогда найдем х: .Ответ: AC = 7.Уровень С. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.Решение:Построение чертежа задачи (рисунок 23).Рисунок 23ПроведёмчерезточкуD прямую,параллельнуюдиагонали AC. Дуги AL иCD равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды:AL = CD = 16.  Вертикальные углы AKB и CKD равны. УглыCKDиLDK равны какнакрест лежащие: AKB  = CKD = 600.ЧетырёхугольникABDLвписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна 180°: LАВ = 1800 - LDК = 1800 – 600 = 1200.Рассмотрим∆ ABL. По теореме косинусов:Найдём радиус описанной вокруг треугольника ABL окружности по теореме синусов:Ответ: .Рассмотрим задачи по классу «Описанные многоугольники»[4].«Ключевая задача».В четырехугольникABCDвписана окружность,AB = 10, CD = 16. Найдите периметр четырехугольника.1 этап: Формируем краткое условие задачи, выбираем, что дано, а что нужно доказать.2 этап: По нашей классификации это задача вычислительного характера на вписанные и описанные окружности.3 этап: Построение чертежа задачи (рисунок 24).Рисунок 244 этап: На основе рисунка 18, выбираем нужный теоретический факт, то есть суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны.5 этап: Проговариваем с учащимся ход решения задачи. Зная, что суммы противоположных сторон равны, периметр четырехугольника можно найти как удвоенную сумму одной пары сторон.6 этап: Запишем решение.В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB + CD = BC + AD. Тогда .7 этап: Полученное решение удовлетворят требованиям условия.8 этап: Ответ: Р = 52.9 этап: Данное решение задачи является самым рациональным. В основе лежит свойство описанного многоугольника.«Комбинированная задача».Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 80, ее большая боковая сторона равна 30. Найдите радиус окружности.1 этап: Формируем краткое условие задачи, выбираем, что дано, а что нужно доказать.2 этап: По нашей классификации это задача вычислительного характера на вписанные и описанные окружности.3 этап: Построение чертежа задачи (рисунок 25).Рисунок 254 этап: На основе рисунка 10, выбираем нужный теоретический факт, то есть суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны.5 этап: Проговариваем с учащимся ход решения задачи. Зная, что суммы противоположных сторон равны и периметр четырехугольника можно сумму сторонABи CD. А так как трапеция прямоугольная то диаметр окружности равен стороне AB, поделив, ее пополам и найдем радиус.6 этап: Запишем решение.В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB + CD = BC + AD. Зная, что.По условию задачи CD =30, тогда AB = 10.Поскольку AB =NQ = 2r, то r = 5.7 этап: Полученное решение удовлетворят требованиям условия.8 этап: Ответ: r = 5.9 этап: Данное решение задачи является самым рациональным. В основе лежит свойство описанного многоугольника.«Самостоятельная задача». На данном этапе учащимся предложим дифференцированные задачи, причем учащиеся решающие задачу уровня А, могут пользоваться и схемой решения задач и теоретическим материалом (рисунок 10). Учащиеся работающие с уровнем В могут пользоваться только теоретическим материалом, а учащиеся, решающие уровень С, работают сами. Уровень А. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.Решение:Построение чертежа задачи (рисунок 26).Рисунок 26Если в четырехугольник можно вписать окружность, то AB + CD = AD + CB..Ответ: средняя линия равна 8.Уровень В. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.Решение:Построение чертежа задачи (рисунок 27).Рисунок 27Если в четырехугольник можно вписать окружность, то AB + CD = AD + CB.Ответ: радиус равен 2.Уровень С. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:16:23 . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 48.Решение:Построение чертежа задачи (рисунок 28).Рисунок 28Пусть стороны четырёхугольника равны  x, 16x, 23x и y. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Поэтому , откуда . Зная периметр четырехугольника, найдем х:Следовательно, наибольшая сторона равна 23.Ответ: наибольшая сторона трапеции равна 23.Приведенным примеры направлены на закрепление теоретических знаний по теме «Вписанные и описанные окружности». Для решения более сложных задач необходимо подбирать ключевую задачу, причем она может быть не обязательно, связана с окружностью.Заключение Целью данной работы было разработать научно-методических основ решения задач по теме «Окружность». В ходе теоретического исследования получены следующие основные результаты: рассмотрена методика обучения учащихся решению задач по теме «Окружность», приведены примеры заданий по формированию операций, из которых состоит действие решения задач, разработано графическое представление теоретического материала. Кроме того, рассмотрены особенности изучения темы в учебниках геометрии авторов Шыныбеков А.Н. и Шыныбеков Д.А. по геометрии 7 – 9 классы.В разработанной методике мы сделали акценты на этапах решения задач, на визуализации теоретического материала, отработку навыка решения задач по теме методом «В три приема», а так же дифференцированный подход при решении задач самостоятельно. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВГотман Э. Г. Задачи по планиметриии методы их решения: пособие для учащихся / Э. Г. Готман. – Москва: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. – 240 с.Зеленяк О. П. Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Моделирование в среде Turbo Pascal / О. П. Зеленяк. – Киев, Москва: ДиаСофтЮП, ДМК Пресс, 2008. – 336 с.Каталог заданий. Задача на доказательство и вычисление [Электронный ресурс] // Интернет-проект «Задачи». – Режим доступа: http://www.problems.ru/about_system.php.КетлерА. К. Метрические соотношения элементов четырехугольника, вписанного в окружность / А. К. Кетлер // Математика в школе. – 1971.– № 6. – С.59–66.Курбатова Н. Н. Программа внеурочной деятельности по математике «Математика после уроков» / Н. Н. Курбатова // Молодой ученый. – 2016. – №16. – С. 343–351.Куценок В. Е. Окружность помогает решать задачи / В. Е. Куценок //Математика в школе. – 1990. – №2. – С. 55–57.Медяник А. И. Учителю о школьном курсе планиметрии. М.: Просвещение, 1984.Фридман Л.М.Теоретические основы методики обучения математике: Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп. – М.: Едиториал УРСС, 2005. − 248 с., с. 205Шыныбеков А.Н. и др. Геометрия учебник для 8 кл. общеобразоват. шк. / А. Шыныбеков, Д. Шыныбеков, Р. Жумабаева. – Алматы: Атамура, 2018. – 112 с.Шыныбеков А.Н. и др. Геометрия учебник для 9 класса общеобразовательной шк. А.Н. Шыныбеков, Д.А. Шыныбеков, Р.Н. Жумабаева. – Алматы: Атамура, 2019. – 176 с.Шыныбеков А.Н., Шыныбеков Д.А. Геометрия для 7 кл. общеобразоват. школы. – Алматы: Атамура, 2017. – 80 с.