Решение дробно-рациональных неравенств с параметром методом интервалов

ГЛАВА 2.ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ - РЕШЕНИЕ ЗАДАЧПриведем несколько задач на решение дробно – рациональных неравенств с параметром, по возможности соблюдая одну из важных принципов педагогической дидактики – «от простого к сложному».Задача 4.Решить неравенствоРешение Начнем с определения ООН. Дроби в неравенстве теряют смысл при , следовательно, ООН – все рациональные числа, удовлетворяющие условию Приводим данное перавенство к стандартному видуКритические точки:Решаем уравнениечтобы определить, при каких данное неравенство примет вид , т.е. не будет иметь решений.Это уравнение решений не имеет. Следовательно, при всехданное неравенство имеет решений. Поэтому рассмотрим только два случая:Отсюда получим: Аналогично, В случае 1) отложив на числовую ось критические точки (рис. 2.1, а), получим решение данного неравенства:В случае 2) решение неравенстваВ пособиях [12] и [13] применено авторами оригинальное нововведение – ось ответов. Проводят ось параметра и на ней показывают все возможные значения неизвестного в соответствии с значениями параметра (рис. 1.6). Этот способ записи ответа очень удобно и дает возможность наглядного анализа результата решения.Окончательный ответ нанесем па ось параметра (рис. 2.2).Задача5.Решить неравенство при всех значениях параметраРешение Найдем множество критических точек:Критические точки приравниваем друг другу попарно, найдем все значения параметра, при которых эти точки совпадают:1) подставляя в выражения для критических точек в качестве любую внутреннюю точку (например, , определяем порядок, в котором критические точки располагаются на числовой оси: . Послеэтогометодом интервалов решим неравенство (рис. 2.3, а). Получим: При интервал вырождается и ответ будет 2) опять с помощью любой внутренней точки (например, определяем порядок расположения критических точек на оси, получим (рис. 2.3, б). методом интервалов решим неравенство. Получим:При интервал вырождается и ответ:3) аналогично, находим расположение критических точек, показанное на рис. 2.3, в, решение данного неравенства Ответ изобразим на оси ответов (рис. 2.4)Задача6. Решить неравенствоРешение может принимать любые действительные значения, а параметр – любые значения, кроме и . ООН имеет видСобираем все члены в левую и приводим к общему знаменателю.Разложим на множители также квадратный трехчлен.Рассмотрим все возможные случаи: решений нет,т.к. получается неверное неравенство .;Обе части умножаем на положительную величину ;Обе части неравенства умножаем на положительную величину ;Обе части неравенства умножаем на отрицательную величину ;Обе части неравенства умножаем на положительную величину Все! Получили все решения. Остается только изобразить ось ответов (рис. 2.5).Метод интервалов применяется не только для непосредственного решения дробно – рациональных неравенств, но и для решения задач, непосредственно не требующих решение неравенства. Приведем примеры таких задач.Рассмотрим пример из реальных заданий ЕГЭ.Задача 7.С4. Найти все значения параметра , при которых множество решений неравенствасодержится в некотором отрезке длиной 7 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 4.Решение1. Преобразуем данное неравенство.Разложим на множители квадратный трехчлен, корни которого и 2. Так както если и -противоположных знаков, т.е. равносильна исходному неравенству.3. Если ,то решение -интервал длиной меньшей 4.Если ,то решение – объединение интерваловОтрезок длиной 4 может содержать только интервал , следовательно, и полученные интервалы не содержатся в отрезке длиной 7.4. Если ,то решение–это интервалЭтот интервал содержит отрезок длиной 4,при . Он содержится в отрезке длиной 7 при .Ответ:Задача8.При каких значениях параметра неравенствоИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРАОфициальные документыФедеральные Государственные образовательные стандарты (ФГОС) 2 поколение. Концепция федеральных Государственных образовательных стандартов общего образования. М.: 2011.ФГОС, 2 поколение. Примерные программы общего образования. Математика (по классам). Школьные учебники и дидактические материалыАлгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / [Ш. А. Алимов и др.]. - М: Просвещение, 2007. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. средней школы/ А. Н. Колмогоров и др. – М.: Просвещение, 1990.Алгебра и начала анализа, 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. – М.: Мнемозина, 2004.Алгебра и начала анализа, 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин.-М.: Мнемозина, 2004.Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. / Л.И.Звавич и др. М.2002.Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича – 12-е изд. Испр. М.: Мнемозина, 2010.Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; - 12-е М.: Мнемозина, 2010.Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2013.Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч.2. задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2013.Учебная, методическая и популярная литератураБеляева, Э. С. и др. Математика. Уравнения и неравенства с параметром. В 2 ч. Ч. 1 : учебное пособие / Э. С. Беляева, А. С. Потапов, С. А. Титаренко.- М. :Дрофа, 2009.Беляева Э. С. и др. Математика. Уравнения и неравенства с параметром. В 2 ч. Ч.2: учебное пособие. М.: Дрофа, 2009.Дыбов П. Т., Осколков В. А. Задачи по математике для поступающих в вузы (с указаниями и решениями). М., 2006.Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. — М.: МЦНМО, 2007. Крамор В. С. Задачи с параметрами и методы их решения / В. С. Крамор. – М.: ООО» Издательство Оникс»: ООО «Издательство Мир и образование», 2007.Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М., 2005.Локоть В. В. Задачи с параметрами. М., 2003.Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Задачник - практикум по математике. М., 2005Моденов В. П. Математика. Пособие для поступающих в вузы. – М., Новая Волна, 2002.Пособие по математике для поступающих в вузы. Под ред. Г. Н. Яковлева. – М. Наука. 1988.Хорошилова Е.В. Элементарная математика: Учеб. пособие для старшеклассников и абитуриентов. Часть 1ЖТеория чисел. Алгебра. – М.: Изд-во Моск. Ун-та, 2010. – 472 с.Интернет – источники:www.alexlarin.narod.ru. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений.http://sch1106uz.mskobr.ru/files/sposoby_i_metody_resheniya_zadach_s_parametrami.pdf Сурина З. П. «Способы и методы решения задач с параметрами»http://ege.sdambia.ru