Диофантовы уравнения и методы их решения

Но по предположению наименьшее возможное натуральное решение и при этом тоже решение. Пришли к противоречию. Значит, решений нет.2.7 Метод выражения одной переменной через другуюДанный метод основан на стандартном приеме, часто используемом при решении уравнений в целых числах. Сначала необходимо выразить одну переменную через другую, затем, выделив целую часть, провести рассуждения по поводу целочисленности оставшейся дробной части. Рассмотрим метод на примере.Пример 14. Решить диофантово уравнение второй степениВыразим через т.к. не имеет целочисленных решений, можем поделить уравнение на , не потеряв решенийДробная часть должна быть целым числом, т.е. может принимать значения При имеем При имеем При имеем При имеем Решения уравнения 2.8 Уравнение Пелля2.8.1 Решение уравнения ПелляУравнением Пелля названа разновидность уравнения Ферма, которое задано следующим образомгде целое положительное число, не являющееся полным квадратом.Очевидно, что каждое такое уравнение имеет решение такое решение называется тривиальным. Все остальные решения называются нетривиальными. Наименьшим нетривиальным решением уравнения (8) называется такое решение, при котором выражение принимает наименьшее из возможных значений. Решений уравнения (8) бесконечное множество. Для их нахождения можно пользоваться различными формулами, такими как2.8.2 Метод цепных дробей при решении уравнения ПелляОпишем алгоритм, основанный на цепных дробях:разложить в цепную дробь, которая будет периодична;найти период и вычислить где наименьшее натуральное, при котором четно;найти подходящую дробь с соответствующим индексом (Теорема 7), числитель и знаменатель которой будут наименьшим решением.Теорема 6. Пусть положительное решение уравнения (8), тогда является подходящей дробью .Теорема 7. Пусть длина периода последовательности элементов цепной дроби для числа , тогда числитель и знаменатель подходящей дроби числа являются решением уравнения (8) тогда и только тогда, когда ее номер имеет вид и нечетен.Пример 15. Решить уравнение Пелля Выполним по алгоритму:период дроби равен – четно, ;найдем подходящую дробьс индексом т.е. С помощью формул (9) найдем остальные решения2.9 Уравнение КаталанаУравнением Каталана называется уравнение видагде Такое уравнениеимеет единственное решение в натуральных числахПри решении уравнений (11) можно рассмотреть следующие случаи:;.В каждом из вариантов возможны еще по два случая:;.В результате получим 16 вариантов для перебора.2.10 Решение некоторых нелинейных диофантовых уравнений Рассмотрим решение текстовой задачи практического содержания, сводящейся к решению диофантового уравнения второй степени.Пример 16. Необходимо перевезти школьников из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа . Будем считать, что автобусы должны заполняться полностью. Какое наибольшеечисло школьников можно перевезти в заданных условиях, если в автобус типа размещается на 7 человек меньше, чем в автобус типа ? Пусть в автобус типа размещается человек, а в автобус типа размещается человек. Также предположим, что каждый из трех автобусов типа сделает по рейсов, а каждый из двух автобусов типа – по . Т.к. в обоих случаях автобусы перевезут одно и то же количество школьников, то получим уравнениеПри получимТ.к. должно быть целым, то – один из восьми делителей числа 42 . Получим все возможные решения, перебирая делители:Тогда количества перевозимых детей, равные , соответственно: . Ответ: школьников перевозятся тремя автобусами типа или двумя автобусами типа за . Пример 17. Решить в простых числах уравнение Т.к. значит, В правой части простоечисло, значит, простое, четное, тогда четное и при этом простое, то есть Предположим, нечетное простое число, Тогдат.е. делится на 3, но а значит не простое. Таким образом, предположение о нечетности не верно, четное и простое, т.е. Тогда Ответ: ЗАКЛЮЧЕНИЕПри выполнении данной курсовой работы была изучена литература по заданной теме, пересмотрены сборники задач разных лет. Полученная информация структурирована и подкреплена практическими примерами.В первом разделе было приведено понятие линейных диофантовых уравнений, сформулированы теоремы о решении таких уравнений. Также рассмотрены понятия алгебры и теории чисел, необходимые для решения линейных диофантовых уравнений, приведена суть различных методов их решения, а также составлены алгоритмы решения уравнений этими методами. Каждый метод подкреплен примером, раскрывающим алгоритм решения.Во втором разделеприведено понятие диофантова уравнения второй степени, рассмотрены разные подходы к решению таких уравнений. Также приведены примеры решения диофантовых уравнений второй степени и выше предложенными методами. В каждом разделе продемонстрирована возможность решатьописанными методами текстовые задачи с практическим содержанием, сводящиеся к решению диофантовых уравнений.По результатам работы можно сделать вывод, что существуют различные методы и способы решения диофантовых уравнений, которые так или иначе отражают известный нам алгоритм Евклида, используют рассуждения и понятия алгебры и теории чисел. В результате можно сформулировать четкое описание алгоритма для получения ответа.Каждую конкретную задачу в целых числах можно решить с помощью различных методов, но не каждый алгоритм применим к любой задаче. Таким образом, не существуетуниверсального метода решения для таких уравнений, поэтому задачи на целые числа всегда считались одними из наиболее сложных задач. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫАлександров, П.С. Энциклопедия элементарной математики.Книга 1 (арифметика) / П.С. Александров, А.И. Маркушев, А.Я. Хинчин. – М.-Л.: ГТТИ, 1951. – 424 с. Алфутова, Н.Б. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ / Н.Б. Алфутова, А.В. Устинов. – М.: МЦНМО, 2018. – 336с.Бабинская, И.Л. Задачи математических олимпиад / И.Л. Бабинская. – М.: Наука, 1975. – 112 с.Веселова, Л.В. Алгебра и теория чисел: учебное пособие / Л.В. Веселова, О.Е. Тихонов. – Казань: Издательство КНИТУ, 2019. – 107с. Гельфонд, А.О. Решение уравнений в  целых числах.(Лекции на математической олимпиаде в МГУ) / А.О. Гельфонд. Изд. стереотип. URSS. 2021. – 96 с.Гринько, Е.П. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам / Е.П. Гринько, А.Г. Головач. – Брест: Изд-во БрГУ им. А.С. Пушкина, 2013. – 180с.Данилова, Т.В. Теория чисел. Задачи с примерами решений. Учебное пособие / Т.В. Данилова. – Архангельск, САФУ, 2016. – 105с.Диофант, А. Арифметика и книга о многоугольных числах / А. Диофант; ред. и коммент. И.Г. Башмаковой. – М.: Наука, 1974. – 328 с.Жмурова, И.Ю. Диофантовы уравнения: от древности до наших дней // И.Ю. Жмурова, А.В. Ленивова. Молодой ученый, 2014, No 9 (68), 1–5. Матиясевич, Ю. В. Десятая проблема Гильберта / Ю. В. Матиясевич. – М.: Наука, 1993.Михалева, М.М. Алгебра и теория чисел: учебное пособие / М.М. Михалева, Б.М. Веретенников. – Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2018. – Ч. 1. – 51 с. Нестеренко, Ю.В. Теория чисел для студ. высш. учеб. заведений / Ю.В. Нестеренко. – М.: Академия, 2018. – 272с.Перельман, Я.И. Занимательная математика. Математические рассказы и очерки / Я.И. Перельман. – Л.: Время, 1927 — Репринт: М.: изд-во МГИК, 1993. – 288 с.Серпинский, В. 250 задач по элементарной теории чисел / В. Серпинский. – М.: Просвещение, 2016. – 168 с.Сизый, С.В. Лекции по теории чисел: учебное пособие / С.В. Сизый. – М.: Физматлит, 2008. – 192с.Сикорская, Г.А. Алгебра и теория чисел: учебное пособие / Г.А. Сикорская. – Оренбург: ОГУ, 2017. – 303с.Смолин, Ю.Н. Алгебра и теория чисел: учебное пособие / Ю.Н. Смолин. – М.: Издательство Флинта, 2017. – 465с.Соловьев, Ю. Неопределенные уравнения первой степени // Ю. Соловьев. Квант, 1992, Nо4. Сурдин, В.Г. Астрономические олимпиады. Задачи с решениями / В.Г. Сурдин. – СПб.: Ленанд, 2018, – 304с. Фалин, Г.И. Линейные диофантовы уравнения / Г.И. Фалин, А.И. Фалин. – М.: изд-во Чистые Пруды, 2018, 32 с. (библиотечка «Первого Сентября», серия математика, вып.24) Хонсбергер,Росс. Математические изюминки // Р. Хонсбергер (выпуск 83 серии библиотечка квант ). – М.: Наука, 1992. – 176 с.