Понятие Понятие "иррациональные числа" и их роль в современной математике

Это эквивалентно утверждению, что √2 иррационально: два отрезка линии соизмеримы тогда и только тогда, когда существует другой отрезок такой, что каждый из двух начальных отрезков является целым кратным этому третьему, т. Е. Что отношение их длин может быть представленным в виде рационального числа. Следовательно, поскольку диагональ и сторона квадрата несоизмеримы, их отношение √2 не может быть представлено как отношение двух целых чисел и поэтому является иррациональным.[4]4.3 Алгебраическое доказательство иррационального числаМы можем взять суть геометрического доказательства, представленного выше, и преобразовать его в алгебраическое рассуждение следующим образом.Чтобы доказать иррациональность √2 от противного, предположим, что оно рационально.Затем рассмотрим множествоВ соответствии с принципом упорядочения положим , наименьшее из набора числителей. Тогда пусть знаменатель согласования для такой, что, и, следовательно, .Теперь, вычитая из обеих частей, имеем это,И другие:Поскольку √2> 1, мы знаем, что m0> n0; однако это означает, что 2m0> 2n0, что означает, что m0> 2n0 - m0. Противоречие с минимальностью m0, устанавливающее, что √2 иррационально.Основная идея, лежащая в основе этих первых двух доказательств, состоит в том, чтобы найти некоторое нарушение принципа правильного порядка: показать, что если бы √2 было рациональным, можно было бы построить набор положительных целых чисел без наименьшего элемента (в первом доказательстве этот набор без нижней границы является набором диагоналей: они являются целыми числами, кратными конечному e, но могут уменьшаться до бесконечности; во втором доказательстве, и немного более явно, набор без нижней границы - это набор всех числителей рациональные реализации √2).Следует отметить, что банальное доказательство иррациональности √2 использует теорему простой факторизации, чтобы фраза «сокращенная дробь» была четко определена. [5]4.4 Иной метод определения иррационального числаНесколько иной путь для определения иррациональных чисел был выбран Ричардом Дедекиндом (1831-1916), одним из самых выдающихся основоположников логического и философского анализа основ математики. Егостатьи - «Stetigkeit und irrationale Zahlen» (1872) и «Was sind und was sollen die Zahlen?» (1887 г.) - оказал глубокое влияние на изучение основных принципов математики. Дедекинд предпочитал общие абстрактные концепции конкретным конструкциям, таким как последовательности сокращающихся отрезков линии. Его процедура основана на идее «разреза»; мы сейчас опишем, что это такое.Предположим, что каким-то образом удалось разбить набор всех рациональных чисел на два класса A и B таким образом, что любое число b класса B больше любого числа a класса A. Любое разбиение такого типа называется раздел в области рациональных чисел. Если разрез сделан, то должна быть реализована одна из следующих трех логически мыслимых возможностей.1) Существует наибольший элемент а в классе А. Такое положение вещей имеет место, например, в том случае, если к классу А отнесены всерациональныечисла≤1, к классу В — все рациональные числа > 12) Существует наименьший элемент b*в классе В. Это происходит, например, в том случае, если к классу А отнесены все рациональные числа < 1 к классу В — все рациональные числа ≥ 1.3) Нет ни наибольшего элемента в классе А, ни наименьшего в классе В. Сечение этого рода получится, например, в том случае, если к классу Аотнесены все рациональные числа, квадрат которых меньше чем 2, а к классу В — все рациональные числа, квадрат которых больше чем 2. Классами Aи Bисчерпываются все рациональные числа, так как было показано, что такого рационального числа, квадрат которого равен 2, не существует.Такой случай, когда в классе А есть наибольший элемент а и вместе с тем в классе В — наименьший элемент b* логически немыслим, так как тогда рациональное число, заключенное как раз между а и было бы больше, чем наибольший элемент в А, и меньше, чем наименьший элемент в В, и, значит, не могло бы принадлежать ни к Ани к В.В третьем случае, когда нет ни наибольшего рационального числа в классе А, ни наименьшего в классе В, тогда, по Дедекинду, сечение определяет, или, лучше, представляет собой, некоторое иррациональное число. Не представляет труда проверить, что определение Дедекинда согласуется с определением, в основе которого находятся вложенные отрезки: из всякой последовательности вложенных отрезков I1мы получаем сечение, если отнесем к классу А все те рациональные числа, которые меньше, чем левый конец хотя бы одного интервала Inк классу В — все прочие рациональные числа.В философском отношении определение иррациональных чисел по Дедекинду находится на более высоком уровне абстракции, так как оно не ограничивает ни в чем того математического закона, который определяет классыAи Bболее конкретный метод для определения континуума действительных чисел принадлежит Георгу Кантору (1845-1918). На первый взгляд резко отличный как от метода вложенных отрезков, так и от метода сечений, он, однако, эквивалентен любому из них в том смысле, что числовой континуум, получающийся на основе всех трех методов, обладает одними и теми же свойствами. Идея Кантора базируется на тех обстоятельствах, что1) действительныечисламожно трактовать как бесконечные десятичные дроби, 2) бесконечные десятичные дроби можно рассматривать как пределы конечных десятичных дробей. Чтобы не связывать себя зависимостью от десятичных дробей, мы, следуя Кантору, принимаем, что всякая «сходящаяся» последовательностьрациональных чиселопределяет действительное число. При этом «сходимость» понимается в том смысле, что разность между двумя членами последовательности стремится к нулю, если тип одновременно и независимо друг от друга неограниченно возрастают. (Как раз последовательные десятичные приближения обладают этим свойством: любые два из них после n-го отличаются меньше чем на .) Так как одно и то же действительное число по методу Дедекинда может быть определяемо самыми разнообразными последовательностями рациональных чисел, то приходится добавить, что две последовательности и определяют одно и то же действительноечисло, если разностьстремится к нулю при неограниченном возрастанииnОпределить, идя по пути, намеченному Дедекиндом, сложение и т. д. не представляет труда.[10]ЗаключениеЦелью данного исследования является исследование понятия иррациональное число и выяснение роли иррациональных чисел в современной математике.В начале работы были поставлены задачи, которые мы должны были решить в ходе выполнения данного исследования.Опираясь на все вышеизложенное можно с уверенностью сказать, что все поставленные задачи были достигнуты и мы можем подвести следующие итоги о проделанной работе.История открытия иррациональных чисел начинается еще в времена Пифагора, когда с помощью доказательства Гаппаса все-таки удалось убедить пифагорийцев в существовании иррациональных чисел. Подробнее об истории открытия было рассказано во второй главе.Итак, иррациональное число – это действительные числа, которые нельзя представить в виде простой дроби. Его нельзя выразить в форме отношения, например, p / q, где p и q - целые числа, q ≠ 0. Противоречие рациональных чисел.Иррациональные числа обычно выражаются в форме R \ Q, где символ обратной косой черты означает «набор минус». его также можно выразить как R - Q, что указывает на разницу между набором действительных чисел и набором рациональных чисел.Люди на протяжении всей жизни и каждый день сталкиваются с иррациональными числами. Но к сожалению, существуют определённые проблемы в понимании этих чисел, так зачастую представление о них дается в неправильной форме.Зачастую люди знают только самые популярные иррациональные числа, самые популярные числа это число π, и число e.Но теперь рассмотрим иррациональные числа с точки зрения математики, если углубитсся в историю, то можно сказать иррациональные числа – это еще один удобный инструмент для решения задач. Таких чисел много. Ни одно из таких чисел нельзя представить в виде дроби m/n, где m и n – целые,n не равно 0. Вместе с рациональными эти числа образуют еще одно числовое множество – множество действительных (вещественных) чисел.С помощью 10 цифр мы можем записать любое натуральное число. Используя знаки действий, мы расширили множество натуральных чисел: отрицательные числа получились с использованием действия «вычитание» (-3 – означает отнимать 3); рациональные числа получились с использованием действия «деление» (2/5 – означает 2 поделить на 5).Зачем расширяют множества? Чтобы, выполняя арифметические операции, оставаться внутри этого множества (такое свойство множеств называется замкнутостью). Действительно, расширив множество натуральных чисел до множества целых чисел, мы получили множество, замкнутое относительно операций сложения и вычитания. Аналогично множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырёх арифметических операций.При переходе от рациональных чисел к действительным мы расширяем множество уже не для замкнутости множества относительно основных арифметических операций.Однако заметим следующее: иррациональное число можно приблизить как угодно точно рациональным числом. Например,  можно приблизить числом 1,41 , если нужно точнее, то можно записать 1,41421356 и т.д.То есть можно сказать, что переход к новым множествам – это способ увеличения точности. Например, когда мы говорили о натуральных числах, между  и  не было промежуточных значений: если мой рост больше  метра, но меньше  метров, то нужно либо ввести новую единицу измерения, либо расширить множество. Когда мы говорим о множестве действительных чисел, мы можем говорить об измерениях с абсолютной точностью.Список используемой литературы1. Открытие первого иррационального числа. URL: https://www.cantorsparadise.com/the-discovery-of-the-first-irrational-number-480cacadb9f2. Дата обращения: 15.05.2021.2. Иррациональные числа. URL: https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:b5mSLKJiyFwJ:https://byjus.com/maths/irrational-numbers/+&cd=15&hl=ru&ct=clnk&gl=ru. Датаобращения: 16.05.2021.3.Deidre Arbour. STUDENTS’ UNDERSTANDING OF REAL, RATIONAL AND IRRATIONAL NUMBERS. A Thesis in The Department of Mathematics and Statics. Montreal, Quebec, Canada, 2012. 200 с.4. H. Rademacher, and O. Toeplitz, The Enjoyment of Mathematics, Dover (1990).5. Some Proofs of the Existence of Irrational Numbers. URL: https://lib.bsu.edu/beneficencepress/mathexchange/04-01/Coleman.pdf. Дата обращения: 18.05.2021.6. Методика введения понятия «иррациональное число» URL: https://studme.org/264424/pedagogika/metodika_vvedeniya_ponyatiya_irratsionalnoe_chislo. Датаобращения: 18.05.2021.7. Thurston, W. P. (1994) On Proof and Progress in Mathematics. In R. Hersh (Ed.), 18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics. New York, NY: Springer.8. Sirotic, N. and Zazkis, R. (2007b) Irrational number on the number line – where are they? International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 38(4), 4779. Sirotic, N. and Zazkis, R. (2007a) Irrational Numbers: The Gap Between Formal and Intuitive Knowledge. Educational Studies in Mathematics, 65(1) 49-76.10.Чтотакоематематика? URL: https://scask.ru/n_book_wmath.php?id=33. Дата обращения: 18.05.2021.11. Иррациональные числа. URL: https://pandia.ru/text/78/015/9106.php#:~:text=Иррациональное%20число%20-%20это%20вещественное,несоизмеримого%20с%20отрезком%20единичной%20длины. Дата обращения: 18.05.2021.12. Иррациональные числа: что это такое и для чего они используются? URL: https://fb.ru/article/138450/irratsionalnyie-chisla-chto-eto-takoe-i-dlya-chego-oni-ispolzuyutsya. Дата обращения: 18.05.2021.