Группа Кубика Рубика

Если вы замените 1 на (1), FA на (1 2), FB на (1 3), FC на (2 3), R1 на (1 2 3) и R2 на (1 3 2), две таблицы будут идентичны, поэтому в некотором смысле эти две группы идентичны, и мы называем их изоморфными.Таблица 2 – Умножениесимметрий равностороннего треугольника1FAFBFCR1R211FAFBFCR1R2FAFA1R2R1FCFBFBFBR11R2FAFCFCFCR2R11FBFAR1R1FBFCFAR21R2R2FCFAFB1R1На самом деле легко понять, почему это так. Симметрии △ ABC просто перемещают буквы, обозначающие вершины, в новое место, и шесть симметрий треугольника могут расположить их любым возможным способом, так что в некотором смысле симметрии треугольника перестраивают A, B и C, а группа перестановок перестраивает объекты 1, 2 и 3.Эта группа, которая содержит все перестановки трех объектов, называется симметричной группой трех объектов. В общем, группа, состоящая из всех перестановок на n объектах, называется симметричной группой на n объектах. Поскольку есть n! перестановок n объектов, то есть размер симметричной группы.Таким образом, когда вы читаете в своем тексте теории групп, что есть ровно две группы порядка 6, это означает, что каждая группа с соответствующим изменением ярлыков членов группы будет подобна одной из этих двух групп. Когда две группы имеют это отношение, мы говорим, что они изоморфны.Группа перестановок не обязательно должна включать все возможные перестановки объектов. Если мы рассматриваем R как группу перестановок, очевидно, что не существует перестановки, которая перемещает реберный кубик в угловой и наоборот. Группа, состоящая из полного набора перестановок трех объектов, показанных в таблице 1, содержит различные собственные подмножества, которые также образуют группы:{1}, {1,(1 2)}, {1,(1 3)}, {1,(2 3)}, и {1,(1 2 3),(1 3 2)}Эти подмножества групп, которые сами являются группами при одной и той же операции, называются подгруппами. Группа R является подгруппой группы всех перестановок из 48 элементов. [7]5 Задание группы подстановки и основные свойстваМы можем превратить набор ходов кубика Рубика в группу, которую мы обозначим (G, ∗). Элементами G будут все возможные ходы кубика Рубика (например, одно возможное движение - это поворот по часовой стрелке верхней грани, за которым следует поворот правой грани против часовой стрелки). Два хода будут считаться одинаковыми, если они приведут к одной и той же конфигурации куба (например, повернуть грань по часовой стрелке на 180 ° - это то же самое, что повернуть ту же грань на 180 ° против часовой стрелки). Групповая операция будет определена следующим образом: если M1 и M2 - два хода, то M1∗ M2 - это ход, в котором вы сначала делаете M1, а затем M2. Для того, чтобы понять почему это можно назвать группой, нам необходимо рассмотреть 4 основных свойства:• G заведомо замкнута относительно ∗, поскольку, если M1 и M2 - ходы, M1∗ M2 - тоже ход.• Если мы позволим e быть «пустым» ходом (то есть ходом, который вообще не меняет конфигурацию кубика Рубика), то M ∗ e означает «сначала сделайте M, а потом ничего не делайте». Это, безусловно, то же самое, что просто выполнить M, поэтому M ∗ e = M. Итак, (G, ∗) имеет правую единицу.• Если M - ход, мы можем отменить шаги движения, чтобы получить ход M0. Тогда ход M ∗ M0 означает «сначала сделай M, а потом переверни все шаги M». Это то же самое, что ничего не делать, поэтому M ∗ M0 = e, поэтому M0 является обратным к M., следовательно, каждый элемент G имеет правый обратный.• Наконец, мы должны показать, что ∗ ассоциативно. Помните, что перемещение может определяться вызываемым им изменением конфигурации. В частности, ход определяется положением и ориентацией каждого куба.Если C является ориентированным кубом, мы будем писать M (C) для ориентированного куба, в котором C оказывается после применения перемещения M, причем грани M (C) записываются в том же порядке, что и грани C. то есть первая грань C должна заканчиваться первой гранью M (C) и так далее. Например, перемещение R помещает ur-куб в br-кубик, при этом u-грань куба лежит на b-грани ячейки, а r-грань куба лежит на r-грани ячейки. Таким образом, мы пишем R (ur) = br.Во-первых, давайте исследуем, что делает с кубом последовательность из двух ходов. Если M1 и M2 - два хода, то M1∗ M2 - это ход, в котором мы сначала делаем M1, а затем M2. Движение M1 перемещает C в ячейкуМ1 (С); затем движение M2 перемещает его в M2 (M1 (C)). Следовательно, (M1∗ M2) (C) = M2 (M1 (C)).Чтобы показать ассоциативность ∗, нам нужно показать, что (M1∗ M2) ∗ M3 = M1∗ (M2∗ M3) для любых движений M1, M2 и M3. Это то же самое, что показать, что (M1∗ M2) ∗ M3 и M1∗ (M2∗M3) делают одно и то же с каждым кубиком. То есть мы хотим показать, что [(M1∗ M2) ∗ M3] (C) = [M1∗ (M2∗ M3)] (C) для любого куба C. Из наших вычислений выше мы знаем, что [(M1∗ M2 )∗ M3] (C) = M3 ([M1∗ M2] (C)) = M3 (M2 (M1 (C))). С другой стороны, [M1∗ (M2∗ M3)] (C) = (M2∗ M3) (M1 (C)) = M3 (M2 (M1 (C))).Итак, (M1∗ M2) ∗ M3 = M1∗ (M2∗ M3). Таким образом, ∗ ассоциативно. Следовательно, (G, ∗) действительно группа. [6]ЗаключениеДанная работа была направлена на изучение вопроса об группах кубика рубика. Перед началом работы были поставлены следующие задачи:1) Изучить движение плоской геометрической фигуры на плоскости;2) Изучить движение многогранника в пространстве;3) Изучить повороты и симметрии;4) Изучить группы кубика рубика;5) Изучить способ задание группы подстановки и основные свойства;6) Сделать выводы о проделанной работе.На каждую поставленную задачу был дан развернутый ответ. Кубик Рубика – это одна из самых известных и занимательных головоломок нашего времени. Но не каждому человеку доведется её собрать с первого раз без определённых знаний, а именно знаний о группах кубика Рубика. Итак группа кубика Рубика — подгруппа симметрической группы S48, элементы которой соответствуют преобразованиям кубика Рубика. Под преобразованием подразумевается эффект поворота любой из граней или последовательности поворотов граней.Но данные группы базируются на принципах геометрии и стереометрии о перемещении плоскости и многогранника в плоскости и пространстве. Именно эти вещи делают возможным решение столь удивительной головоломки.Списокиспользуемойлитературы1. Overview of Rubik’s Cube and Reflections on Its Application in Mechanism. URL: https://cjme.springeropen.com/articles/10.1186/s10033-018-0269-7. Дата обращения: 31.05.2021.2. Преобразования. Симметрия и поворот. URL: Справедливость теоремы следует из того, что центральная симметрия есть поворот на 180°, и теоремы 12.11.. Дата обращения: 31.05.2021.3. Черняховская, Л.Б. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА / Л.Б. Черняховская, Л.А. Шабанов. – Самара : САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ, 2008. – 1-5 с.4. Стереометрия [Электронный ресурс]URL:http://www.mathtask.ru/0063-stereometry.php#:~:text=Движение%20в%20пространстве%20определяется%20таким,движении%20плоскость%20переходит%20в%20плоскостью Дата обращения : 31.05.2021.5. Группа Кубика Рубика. [Электронный ресурс]URL:http://yavix.ru/вики%20Группа%20кубика%20Рубика. Дата обращения: 31.05.2021.6.GroupTheoryandtheRubik’sCube [Электронныйресурс]URL: http://people.math.harvard.edu/~jjchen/docs/Group%20Theory%20and%20the%20Rubik%27s%20Cube.pdf. Датаобращения: 01.06.2021.7. GroupTheoryviaRubik’sCube [Электронныйресурс] URL: http://www.geometer.org/rubik/group.pdf. Дата обращения: 01.06.2021.