Теорема о делении с остатком для многочленов

Доказательство:Допустим, что многочлен с целыми коэффициентами и целое число −его корень.Тогда по определению корня выполняется следующее равенство, т.е.:Вынося общий множитель за скобки, получим равенство:откуда:Так как числа и −целые, то в скобке стоит целое число, и, следовательно,  делится, на , что и требовалось доказать.Доказанную теорему можно также сформулировать следующим образом: всякий целочисленный корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем своего свободного члена.Алгоритм нахождения целых корней многочлена с целыми коэффициентами основан на теореме: выпишите все делители свободного члена и выпишите значения многочленов этих чисел по очереди.Помимо рассмотренной теоремы так же существует и дополнительная теорема о целых корнях.Если целое число α−корень многочлена с целыми коэффициентами, то −делитель числа , −делитель числа . Теперь докажем эту теорему.Доказательство:Из тождестваВытекает следующее, что для целых чисел и число делится на . Но для любого многочлена разность:Из этого следует, что для многочлена с целыми коэффициентами и целых чисел и разность делится на.[4,7-8]1.6 Схема ГорнераСхема Горнера – это один из частных случаев деления многочлена, когда частное равно двучлену типа .Допустим следующее:По определению деления с остаткомПодставляя в это выражение получим следующее:Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим следующее:Коэффициенты при одинаковых степеняхВыражение коэффициентов через коэффициенты Для большего удобства таблицу написанную выше принято записывать в строчке следующем виде:Если нам даны и — числа, то если мы предполагаем, что число а является нашим корнем, то мы записываем его слева в таблицу, затем сносим первый элемент таблицы, а для каждого элемента до конца мы умножаем предыдущий элемент строки на a и прибавляем к строке. Если в конце (в остатке на деление на ) мы получили 0, то тогда число является корнем уравнения, а получившиеся элементы строки — коэффициентами перед соответствующими x, смещенными на один влево.[6]2 Практическая частьРазделите многочлены с остатком:Решение.Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Доказать, что ненулевые многочлены, делящие друг друга, отличаются ненулевым числовым множителем Решение Пусть ненулевые многочлены и Тогда для подходящих многочленов верно Следовательно, откуда вытекает . Поскольку ненулевой многочлен, то . Учитывая, что степень произведения равна сумме степеней сомножителей, получаем, что числа, что и требовалось доказать.Найти наибольший общий делитель многочленов РешениеПрименим алгоритм Евклида:Значит, НОД Так как НОД определяется с точностью до постоянного множителя, то удобно считать, что НОД .Ответ: НОД .ЗАКЛЮЧЕНИЕМногие проблемы требуют знаний, а ряд задач находит более простое решение, если знать теорию деления многочленов остатком. Например: поиск НОД по алгоритму Евклида значительно упрощает решение проблемы. Таких примеров очень много. Этот раздел алгебры находит применение во всех областях математики, которые можно только вообразить.В данной работе рассмотрены основные термины, определения, теоремы, методы решения различных типов задач из раздела «Многочлены над полем», изучена литература по данной теме. И непосредственно практическая часть: решение различных примеров и задач.СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1. НОД двух многочленов URL: https://ib.mazurok.com/2020/06/06/gcd-of-two-polynomials/. Дата обращения: 12.06.2021.2. Меркулов, А.В. Методы контроля стабильности корней многочленов с интервальными коэффициентами / А.В. Меркулов, С.В. Иваница, А.Я. Аноприенко // «Информатика и компьютерные технологии-2011». – 2011. – . – С. 228-232.3. Многочлены URL: http://www.uic.unn.ru:8103/~zny/algebra/lectures/lectures/05_Polynomials.pdf. Дата обращения: 12.06.2021.4. Теорема о рациональных корнях многочлена URL: https://studopedia.ru/18_449_teorema-o-ratsionalnih-kornyah-mnogochlena.html. Дата обращения: 13.06.2021.5. Взаимно-простые многочлены и их свойства URL: https://studopedia.net/10_35124_vzaimno-prostie-mnogochleni-i-ih-svoystva.html. Дата обращения: 13.06.2021.6. Решение уравнений высоких степеней URL:http://math-info.hse.ru/f/2011-12/nes-la/gorner.pdf#:~:text=Схема%20Горнера%20это%20алгоритм%20деления,·%20·%20·%20%2B%20a0. Дата обращения: 13.06.2021.7. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том III, часть 1 / Пред. Л. Д. Фаддеева, пред. и прим. Е. А. Грининой: 11-е изд. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — 400 с.: ил.8. Алфутова Н. Б. Устинов А. В.Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. 3-е изд., испр. и доп. М.: МЦНМО, 2009. 336 с