Азбука хаоса: бифуркации, аттракторы, горизонты предсказаний, размерности

При малых с < 2 √ab положений равновесия нет.После этого происходит седло-узловая бифуркация рождения устойчивой и неустойчивой неподвижных точек. Далее из устойчивой точки в результате бифуркации Андронова– Хопфа рождается устойчивый предельный цикл, который претерпевает каскад би- фуркаций удвоения периода с переходом к хаосу по Фейгенбауму. В закритической области чередуются области периодической динамики и хаоса. Хаос, реализующийся в системе при различных значениях с, будет иметь различные характеристики. Среди исследователей популярны два варианта: ленточный – bandchaos (рис. 16) и винтовой хаос – spiralchaos (рис. 16) [8–11]. Графическая иллюстрация меняющегося аттрактора по всему диапазону значений споказывает общее поведение параметров анализа - частые переходы между периодичностью и апериодичностью. Также наблюдается каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода (сценарий Фейгенбаума перехода к хаосу).2.4. Автокорреляционная функцияЭта функция служит для оценки интенсивности хаоса и является мерой сходства значения сигнала X в момент времени t и значения того же сигнала в последующий момент времени t+𝜏 . Величина C(𝜏) получается путем усреднения большого числа произведений.Поскольку фазовая траектория аттрактора Рёсслера вращается вокруг одного или нескольких седло-фокусов, то и его автокорреляционная функция имеет сильно выраженный колебательный характер (рис. 17). Рис.17 Автокорреляционная функция аттрактора Рёсслерадляа=0,2; b=0,2; с=5,7Анализируя характер изменения автокорреляционной функции в зависимости от режимов поведения системы (1) при различных значениях ее параметров, можно видеть, что для базовых значений параметров (а=0,2; b=0,2; с=5,7) в сравнении с (а=0,2; b=0,2; с=5,7 ) пики автокорреляционной функции для z имеют менее острый характер, а скорость затухания колебаний по х,у уменьшается (рисунки 18-19 и 20-21). Рис.18 Автокорреляционная функция аттрактора Рёсслера для x,yприа=0,2; b=0,2; с=5,7.Рис.19 Автокорреляционная функция аттрактора Рёсслера для zприа=0,2; b=0,2; с=5,7Рис.20 Автокорреляционная функция аттрактора Рёсслера для x,yприа=0,2; b=0,2; с=12.Рис.21 Автокорреляционная функция аттрактора Рёсслера для zприа=0,2; b=0,2; с=12Для сравнения была также рассчитана автокорреляционная функция для единичного цикла приа=0.1, b = 0,2; c = 5. Поскольку вращение в этом режиме имеет регулярный характер (фазовый портрет на рис. 5), она не имеет затухания и пики выражены слабо (рис.22).Рис. 22 Автокорреляционная функция аттрактора Рёсслера для zприа=0,1; b=0,2; с=5.3. Размерности аттрактораЛяпуновская размерностьФрактальную размерность аттрактора динамической системы в фазовом пространстве RN можно оценить с помощью спектра ляпуновских характеристических показателей (ЛХП). Такая оценка называется ляпуновской размерностью DLи задается определенным соотношением, называемым формулой Каплана-Йорке.Известен спектр ЛХП странного аттрактора N-мерной системы, размерность которого нужно оценить: λ1≥λ 2≥ … ≥ λ N . Сумма всех показателей спектра отрицательна в силу диссипативности системы. Рассмотрим первые k показателей спектра ЛХП, где k – наибольшее число, удовлетворяющее условию В указанное число показателей включены все положительные, все нулевые и некоторая часть отрицательных, чтобы сумма оставалась неотрицательной. Поскольку сумма показателей задает характер локального изменения элемента фазового объема в аттракторе, то фазовый объем размерности k < N в среднем не уменьшается. Увеличение размерности подпространства на единицу приведет в среднем уже к сжатию элемента объема Таким образом, можно предположить, что размерность аттрактора заключена в интервале k ≤ DL≤ k + 1.Движение на аттракторе подчиняетсяь условиям физических представлений о стационарности процесса.где d – дробная часть размерности. Полная ляпуновская размерность аттрактора будет суммой целой k и дробной d частей:3.1. Показатели Ляпунова для хаотической динамической системыСпектр показателей Ляпунова характеризует устойчивость динамической системы в фазовом пространстве. В силу диссипативности системы сумма показателей Ляпунова должна быть отрицательной. Благодаря условию диссипативности аттрактор является притягивающим множеством нулевой меры в фазовом пространстве. Все точки, независимо от  их  начального положения, экспоненциально быстро приближаются к  аттрактору и концентрируются на нем с течением времени. В этом случае показатель Ляпунова λ3 = λn наименьший (максимален по модулю и отрицателен). Численное моделирование для расчета спектра показателей Ляпунова был выполнено по алгоритму Benettin’а.Результаты численных расчетов показателей Ляпунова для аттрактора Рёсслера есть: λ1 = 0,07062, λ2 = 0,000048, λ3 = –5,3937.Ляпуновская размерностьDL=k + d= 2+ (0.465698 + 0.166923 )/0.157=2.25Фрактальная размерность Каплана — Йорке (Kaplan — Yorke) задается следующей формулой: dKY = 2 + λ1/ |λ3 | В нашем случае получаем следующие приближенные значения: dKY = 2,013 В общем случае имеет место следующее соотношение между размерностями: DL≥DFОднако в пределах ошибок вычислений можно приближенно считать, что значения размерностей совпадают. При выборе, каким определением размерности лучше воспользоваться, обычно исходят из возможностей численных расчетов. 3.2. Энтропия и ее связь с характеристическими показателями ЛяпуноваДля большинства базовых моделей динамического хаоса величина метрической энтропии (энтропии Колмогорова-Синая) может быть вычислена как сумма положительных характеристических показателей Ляпунова. Таким образом, в силу того, что прямое вычисление энтропии Колмогорова-Синая по определению затруднено, на практике критерием хаотичности аттрактора стало наличие у него хотя бы одного положительного ляпуновского характеристического показателя.Энтропия является мерой средней скорости потери информации о состоянии динамической системы с течением времени.Для одномерных отображений она равна показателю Ляпунова. Для систем большей размерностиК есть мера средней деформации ячейки в фазовом пространстве и равна усредненной пофазовомупространству сумме положительныхпоказателейЛяпунова.Она обратно пропорциональна интервалу времени, на котором можно предсказать состояние хаотической системы.Для аттрактора Рёсслера энтропия Колмогорова-СинаяК2= 0,071.На рис. 23 приведены бифуркационные диаграммы, являющиеся наиболее информативным отображением процессов, происходящих в системе, при изменении одного из параметров.Рис. 23 Бифуркационная диаграмма по параметру bОпределим сжатие фазового объема системы Рёсслера (1) . Оно непостоянно и зависит от х:Для рассматриваемых значений параметрова = 0,2; b = 0,2; c = 5,7 при х < c –апроисходит сжатие объема, поскольку правая часть принимает отрицательные значения. При x > c–а происходит расширение объема. Из наличия перемешивания автоматически следует свойство эргодичности; обратное, в общем случае, неверно.ЗаключениеПроведен анализ хаотической динамической системы, включающий как аналитические оценки, так и численную реализацию колебательных процессовна примере осциллятора Рёсслера, аттракторы, характеристические показатели Ляпунова и однопараметрические бифуркационные диаграммы. Были рассмотрены основные качественные свойства динамической системы, подтвержденные количественными оценками и графиками.Получены графические иллюстрации и численные оценки поведения системы Рёсслера для различных параметров системы и начальных условий.ЛитератураЗаславский Г. М., Стохастичность динамических систем, М., 1984.Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, 2 изд., М., 1992; Гардинер К. В., Стохастические методы в естественных науках, пер. с англ., М., 1986; Неймарк Ю. И., Ланда П. С., Стохастические и хаотические колебания, М., 1987. Н. А. Кириченко."Компьютеры и нелинейные явления". М.-Наука, 1988."Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент". М.-Наука, 1988.Р.Х.Сагдеев, Г.М.Заславский. Введение в нелинейную физику. М.-Наука, 1988.Р.Додд, Дж.Эйлбек, Дж.Гиббон, Х.Моррис. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.-Мир, 1988.А.Ньюэлл. Солитоны в математике и физике. М.- Мир, 1989.А.Т. Филлипов. Многоликий солитон. М.-Наука, 1990.Э. Скотт. Нелинейная наука. Рождение и развитие когерентных структур. Москва. Физматлит, 2007.Г.Шустер. Детерминированный хаос: Введение. М., Мир-1988.С.П. Кузнецов. Динамический хаос. Москва, Физматлит, 2001.А.Ю.Лоскутов. А.С.Михайлов. Основы теории сложных систем. Москва-Ижевск, 2007Е.Федер.Фракталы. М.-Мир, 1991.Х.-О.Пайтген, П.Х.Рихтер. Красота фракталов. М.-Мир, 1993.И. Пригожин. От существующего к возникающему. М.-Наука, 1985.Г.Хакен. Введение в синергетику. М.-Мир, 1985.А.Х. Найфе. Введение в методы возмущений. М.-Мир, 1984.