поверхностные интегралы 1-ого и 2-ого рода. Их основные свойства и методы вычислений

Замечая, что в области S φменяется от 0 до 2π и ρ меняется от 0 до 1, находим:Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода, где σ – часть поверхности , отсеченной плоскостями y=0, y=b. Решение: поверхность задана уравнением, разрешенным относительно y. Для вычисления интеграла по поверхности первого рода воспользуемся формулой где S2 – проекция поверхности σ на плоскость0xz.Поскольку . тоПроекцией S2 данной поверхности на плоскость0xz является круг x2+z2 ≤b2(рисунок 3) , поэтому при переходе к полярным координатам x=ρcosφ, y= ρsinφ будем иметь, что φменяется от 0 до 2π и ρ меняется от 0 до b.Рисунок 3.ПоуказаннойформуленаходимПример 3. Вычислить , где σ –часть цилиндирической поверхности , отсеченная плоскостямиz=0, z=c.Решение: Так как поверхность задана уравнением, разрешенным относительно x, то необходимо воспользоваться формулойгде S1 - проекция поверхности σ на плоскость 0yz. Поскольку . тоЗаметив также, что область S1 представляет собой прямоугольник ABCD(рисунок 4), определяемый неравенствами –b ≤y≤b, 0 ≤z≤c.Рисунок 4Найдем2.2 Примеры вычисления поверхностных интегралов второго родаПример 4. Вычислить поверхностный интеграл второго рода, где σ – часть поверхности , отсеченной плоскостями y=0, y=b. (рисунок 3)Решение: Нормаль n в точке М, соответствующая указанной стороне поверхности, составляет с осью 0y тупой угол, поэтому, при вычислении интеграла второго рода необходимо взять знак минус.Проекцией S2 данной поверхности на плоскость 0xz является кругx2+z2 ≤b2, По формуле (8) получаемПри переходе к полярным координатам x=ρcosφ, z= ρsinφ будем иметь, что φменяется от 0 до 2π и ρ меняется от 0 до b.Следовательно,Пример 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где σ – верхняя сторона поверхности , отсеченной плоскостями y=0, y=b (рисунок 5, а).Рисунок 5Решение: Нормаль n в точке М, соответствующая указанной стороне поверхности, составляет с осью 0z острый угол (точнее 0 ≤ α ≤ π/2), поэтому, при вычислении интеграла второго рода необходимо взять знак плюс.Проекцией S1 данной поверхности на плоскость 0xy является прямоугольник ABCD (рисунок 5,б), стороны которого определяются неравенствами -a ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b.По формуле (7) находимПример 6. Вычислить , где σ –внутренняя сторона части полусферы , вырезанная конусом.Решение: Так как нормаль, соответствующая выбранной стороне поверхности, составляет с положительным направлением оси 0x тупой угол, в формуле для определения интеграла необходимо взять знак минус.Так как S3 есть круг (получено из уравнений и ), то переходя к полярным координатам, находимИтак, 2.3 Другие примеры, связанные с вычислением поверхностных интеграловПример 7. Вычислить массу части поверхности z=xy (x≥ 0, y≥ 0), вырезанной цилиндром (x2+y2)2=8xy, если поверхностная плотность равна.Решение: так как , то в соответствии с формулой (11) получаемгде S – лепесток лемнискаты (x2+y2)2=8xy , для которого (x≥ 0, y≥ 0).В полярных координатах x=ρcosφ, y= ρsinφ, уранение границы области имеет вид , где φменяется от 0 до π/2.ПоэтомуПример 8. Вычислить момент инерции относительно оси 0z части однородной поверхности сферы x2+ y2+z2 =R2, для которой x≥ 0, y≥ 0, z≥ 0.Решение: Так как поверхность однородная, то есть , то можно положить, что p=1.По формуле (21)Поскольку, в данном случае F(x,y,z)= x2+ y2+ z2 - R2, тоСледовательно, где S – четверть круга x2+ y2≤ R2 при x≥ 0, y≥ 0Переходя к полярным координатам, получаемПример 9. С помощью формулы Остроградского вычислитьгде σ – часть конической поверхности x2+ y2=z2, 0 ≤ z≤ h, cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности σ.Решение: Формула Остроградского применима в случае замкнутой поверхности. Чтобы получить замкнутую поверхность, присоединим к поверхности конуса x2+ y2≤z2 соответствующую часть плоскостиz=h.Обозначив эту часть плоскости через σ1, по формуле Остроградского получим В таком случае, для решения достаточно будет вычислить второй и третий интегралы. Для плоскости через σ1, являющейся основанием конуса cosα=0, cosβ=0, cosγ=1, так как плоскость z=hпараллельна 0xy. (На плоскости σ1z=h и двойной интеграл равен площади круга радиуса h, получающегося при пересечении конуса с плоскостью).Вычисляем третий интеграл, производя в нем сначала интегрирование по z от до z=h, а затем двойной интеграл по области S в плоскости 0xy (эта область является кругом x2+ y2≤h2 , z=0; она получается проецированием объема Vна плоскость 0xy).Таким образом, Обозначая последнийинткграл через I и переходя к полярным координатам по формулам x=ρcosφ, y= ρsinφнаходимТогдаЗаключениеВ заключении заметим, что в работе рассмотрены наиболее часто встречающиеся в заданиях дисциплин с изучением математического анализа поверхностные интегралыВ ходе выполнения данной выпускной работы, подробно изучена литература и методические указания по вычислению поверхностных и криволинейных интегралов. Решенряд примеров и задач, к некоторым из которых построеныграфики функций, для упрощения решения и понимания сути вычисления интеграла.В результате выполненной работы повышен уровень теоретических знаний по математическому анализу, и приобретены навыки в решении задач, связанных с вычислением поверхностных интегралов.Список литературыВысшая математика: учебное пособие / В.И. Белоусова, Г.М. Ермакова, М.М. Михалева, Н.В. Чуксина, И.А. Шестакова. - Екатеринбург : Изд-во Урал.ун-та, 2017. - часть II. - 300 с.Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М. : Наука, 1975. -872 с.Справочник по высшей математике /А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричикова. – Мн.: ТетраСистемс, 1999. – 640 с.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман. - М. : Наука, 2005. - 443 с.Бермант А.Ф. Курс математического анализа / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. — СПб. : Изд-во «Лань», 2005. - 736 с.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб.пособие для вузов / Б.П. Демидович. - М. : АСТ: Астрель, 2009. – 558с.Краснов М.Л. Вся высшая математика / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. - М. :Эдиториал УРСС, 2012. Т. 4. -352 с. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре / И. В. Проскуряков. М. :Юнимедиастайл, 2002. 384 с.Табуева В.А. Математика. Математический анализ. Специальныеразделы : учеб.пособие / В. А. Табуева. 2‑е изд. (стереотип). - Екатеринбург :УГТУ-УПИ, 2004. - 495 с.Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах / В.Д. Черненко. - СПб. : Изд-во «Политехника», 2003. -703 с