Расчетно-графическая работа по теме математическая модель хаотической системы - на примере электроэнергетической соситемы ветрогенератора

Характерспектральной плотности – один из самых простых и вполне надежных критериев, используемых для анализа режимов движения. Если система демонстрирует периодическую динамику, то спектр такого движения будет дискретным. Он будет состоять из линий, отвечающих частотам движения и кратным гармоникам. Для случая хаотических режимов спектр будет сплошным.Спектр мощности содержит ту же информацию, что и автокорреляционная функция. Фактически он может быть получен как преобразование Фурье от корреляционного интеграла С(m). Спектральная плотность определяется формулойгде Здесь– Фурье-амплитуда,–отсчеты фазовых координат.Построим графики спектральной плотности в логарифмическом масштабе.Рисунок 27 а-в – Спектральная плотность компонент системы(в логарифмическом масштабе)Из спектров, представленных на рисунке 16, можно судить о возникновении хаотического режима.14. УправлениеНеобходимо разработать метод прогнозирующего контроля для управления системой ветряной турбины.Нелинейная динамическая система размерности N определяетсяпо следующему уравнению: где x (t) - текущая переменная состояния системы, u (t) - регулятор f (x (t)) - вектор нелинейной функции. Целью прогнозирующего управления является создание такого регулятора u (t), чтобы траектория системы сходилась к неустойчивой фиксированной точке xf.Методика синтеза управления на основе решения уравнения Сильвестра.Данная методика позволяет управлять спектром ХПЛ системы, в которойразмерность вектора управления.Для удобства восприятия опишем метод по шагам.1. Рассчитать инвариантную меру ps для каждой ячейки траектории.2. Рассчитать требуемые собственные числа Якобиана по алгоритму:Для s от 1 до nНачало циклаНайти центр ячейки xsРассчитать матрицу Якоби в xs : J(xs)Найти собственные числа λi для J(xs)Рассчитать требуемые собственные числа Якобиана.Для подсчета мы используем только старший коэффициентλi.3. Найти коэффициенты обратной связи Lr,s с помощью уравненияСильвестра по алгоритму:Для s oт 1 до nНачало циклаНайтицентрячейки xs (x1s, x2s, x3s)Рассчитать матрицу Якоби в xs : J(xs)Найти Рs из уравнения J(xs)Рs+РsF=BGРассчитать Lr,s = – GPs^(-1)Конец циклаЗаметим, что матрица F – диагональная, где элементы – собственныечисла Якобиана, причем элемент на первой строке рассчитан на шаге 2.Матрица G – матрица полного ранга (в нашем случае строка из 3элементов), образующая наблюдаемую пару с матрицей F.B – столбец управляющего воздействия.4. Найти коэффициент обратной связи нелинейной системы.5. Составить новую систему под управлением.6. Найти ХПЛ для новой системыПримечание: они должны получиться все отрицательными, посколькурешается задача стабилизации.7. Построить фазовый портрет системы.Фазовый портрет системы под управлениемРисунок 28– Временная развертка системы ветрогенератора под управлениемРисунок 29– Временная развертка системы ветрогенератора под управлениемЗаключениеВ работе описываетсяматематическаямодельСГПМ.Хаосвмоделисистемыдоказан численной моделью иопределениемпоказателяЛяпунова.Проведенанализдинамическойсистемы«ветряная турбина – синхронный генератор с постоянными магнитами»,включающийкаканалитическиеоценки,такичисленнуюреализациюколебательныхпроцессов,аттракторы,характеристическиепоказателиЛяпуноваиоднопараметрическиебифуркационныедиаграммы.Былирассмотреныосновныекачественныесвойствадинамическойсистемы,подтвержденныеколичественнымиоценкамииграфиками.ДлячисленногомоделированияразработаныпрограммывпакетеMatLab,позволившиеполучитьграфическиеиллюстрацииичисленныеоценкиповедениясистемы«ветряная турбина – синхронный генератор с постоянными магнитами»дляразличныхпараметровсистемыиначальныхусловий.ПоведениемоделиипеременныхсостоянияСГПМоченьпохоженаэкспериментссистемойЛоренца.ЛитератураЗаславскийГ.М.,Стохастичностьдинамическихсистем,М.,1984;РабиновичМ.И.,ТрубецковД.И.,Введениевтеориюколебанийиволн,2изд.,М.,1992;ГардинерК.В.,Стохастическиеметодывестественныхнауках,пер.сангл.,М.,1986;НеймаркЮ.И.,ЛандаП.С.,Стохастическиеихаотическиеколебания,М.,1987.Н.А.Кириченко."Компьютерыинелинейныеявления".М.-Наука,1988."Компьютеры,модели,вычислительныйэксперимент".М.-Наука,1988.Р.Х.Сагдеев,Г.М.Заславский.Введениевнелинейнуюфизику.М.-Наука,1988.Р.Додд,Дж.Эйлбек,Дж.Гиббон,Х.Моррис.Солитоныинелинейныеволновыеуравнения.М.-Мир,1988.А.Ньюэлл.Солитонывматематикеифизике.М.-Мир,1989.А.Т.Филлипов.Многоликийсолитон.М.-Наука,1990.Э.Скотт.Нелинейнаянаука.Рождениеиразвитиекогерентныхструктур.Москва.Физматлит,2007.Г.Шустер.Детерминированныйхаос:Введение.М.,Мир-1988.С.П.Кузнецов.Динамическийхаос.Москва,Физматлит,2001.А.Ю.Лоскутов.А.С.Михайлов.Основытеориисложныхсистем.Москва-Ижевск,2007Е.Федер.Фракталы.М.-Мир,1991.Х.-О.Пайтген,П.Х.Рихтер.Красотафракталов.М.-Мир,1993.И.Пригожин.Отсуществующегоквозникающему.М.-Наука,1985.Г.Хакен.Введениевсинергетику.М.-Мир,1985.А.Х.Найфе.Введениевметодывозмущений.М.=Мир,1984.Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: Часть 1., М.: Мир, 1990, 350 с.Кузнецов А.П., Савин А.В., Тюрюкина Л.В. Введение в физику нелинейных отображений Саратов: изд-во «Научная книга», 2010, 134 с.Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005, 528 с. (с. 348-353)Приложение АСкрипт функции трехмерной системыfunction dy = xyzWind(t, y, opt)sigma = 5.45; gamma =20; epsi = .21;dy = zeros(3,1); % создаеммассивdy(1) = sigma*(y(2)-y(1))+epsi*y(2)*y(3); %-y(2);dy(2) = y(1)*gamma -y(2)-y(1)*y(3); %y(1)+a*y(2);dy(3) = y(1)*y(2)-y(3);end%figure%plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3));%xlabel('X'); ylabel('Y');zlabel('Z'); grid onПриложение БПрограмма функции двумерной системыfunction dy = xyWind(t, y, opt)sigma = 5.45; gamma =20; epsi = .21;dy = zeros(2,1); % создаеммассивdy(1) = sigma*(y(2)-y(1)); %-y(2);dy(2) = y(1)*gamma -y(2); %y(1)+a*y(2);end%[T,Y] = ode45(@xyWind,[0 .5],[2.5 1.5],opt);Приложение В% =======================================================% dxdt% =======================================================function y = dxdt(t,x,gamma)sigma=5.45;y = zeros(3,1); %%% уравненияy = [ sigma*(x(2)-x(1)); % dx/dt x(1)*gamma -x(2)-x(1)*x(3); % dy/dtx(3)+x(1)*x(2); % dz/dt] ; Приложение ГАвтокорелляционная функцияsigma = 5.45; gamma = 2; %20; epsi = .21;NN = 500;%opt=odeset('OutputSel',[1 2], 'OutputFcn','odephas2'); f = @(t,y)[sigma*(y(2)-y(1))+epsi*y(2)*y(3); y(1)*gamma-y(2)-y(1)*y(3); y(1)*y(2)-y(3)];[t,y] = ode45(f, [0 100], [5 5 5]);plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3));%[t,x]=ode45(func, [0 NN], [5 5 5]);%opt=odeset('OutputSel',[1 2], 'OutputFcn','odephas2'); %[T,Y] = ode45(@xyzWind,[0 NN],[2.5 1.5 5],opt); figureautocorr(y(:,1),NN-1);xlabel('Время');ylabel('Автокорреляционная функция для x');figureautocorr(y(:,2),NN-1);xlabel('Время');ylabel('Автокорреляционная функция для у');figureautocorr(y(:,3),NN-1);xlabel('Время');ylabel('Автокорреляционная функция для z');Приложение ДСпектральная функцияa=35;b= 3;c=28;func=@(t,x)[a*(x(2)-x(1));(c-a)*x(1)+c*x(2)-x(1)*x(3);-b*x(3)+x(1)*x(2)];tt=500;[t,x]=ode45(func, [0 tt], [0.1 0.1 0.1]);figureperiodogram(x(:,1),rectwin(length(x(:,1))),length(x(:,1)));xlabel('Сила');ylabel('Частота для x');figureperiodogram(x(:,2),rectwin(length(x(:,2))),length(x(:,2)));xlabel('Сила');ylabel('Частота для у');figureperiodogram(x(:,3),rectwin(length(x(:,3))),length(x(:,3)));xlabel('Сила');ylabel('Частота для z');