Действительные корни полиномов

В частности, из него следует, что чем больше коэффициентов полиномаp(x)обращается в нуль, тем меньше у него потенциальных возможностей иметь вещественные корни.Пример 2.5. Определить положительные и отрицательные корни уравнения третьего порядкаx3–x2 –9x+9=0Определим число положительных и отрицательных корней. Выписываем коэффициенты многочленаp(x): 1, –1, –9, 9. Так как число перемен знакаS1=2, то уравнение имеет два положительных корня или ни одного. Далее выписываем коэффициенты многочленаp(–x): –1, 1, 9, 9. Так как число перемен знакаS2=1, то имеется один отрицательный корень.Правило Декарта не дает точного числа корней на отрезке [a, b], а лишь устанавливает их верхнюю границу, но зато оно очень просто, особенно в применении к обычным многочленам. Замена х на –x позволяет получить и верхнюю границу числа отрицательных корней уравнения.Точное число действительных корней алгебраического уравнения, если оно не имеет кратных корней на [a, b], может быть определено с помощью теоремы Штурма.[6]2.3 Теорема Штурма. Система полиномов ШтурмаТеорема Штурма представляет собой конструктивный результат, который позволяет установить, сколько действительных корней на отрезке [a, b] имеет многочлен p(x), не имеющий кратных корней, если построена так называемая последовательность Штурма.Для полиномаf(x)система полиномов{f0(x)≡f(x),f1(x),,fk(x)}называетсясистемой полиномов Штурма на заданном интервале (a, b), если на этом интервале:1.соседние полиномыfj(x)иfj+1(x)не имеют общих корней;2. fK(x)≠0;3.еслиfj(x0)=0приx0(a,b) иj{1,…,k−1}, то числаfj−1(x0)иfj+1(x0)имеют разные знаки:fj−1(x0)fj+1(x0)<0;4.произведениеf0(x)f1(x)меняет знак с отрицательного на положительный когдаx, возрастая, проходит кореньλ(a,b) полиномаf0(x)≡f(x).Число перемензнака приxвозрастающем отaкb, будет меняться когдаxпроходит через корень какого-либо полинома системы. Это число может разве лишь уменьшаться, и уменьшается на единицу тогда и только тогда, когдаxпроходит через корень начального полинома системы, т.е. через кореньf(x).Теорема 2.8 (Штурма): Еслиf(a)≠0,f(b)≠0,и система{f0(x), f1(x),, fk(x)}является системой полиномов Штурма дляf(x),точисло различных действительных корней полинома fв интервале (a,b) равно разности w(a)−w(b).Самый распространенный способ построения системы полиномов Штурма основан наалгоритме Евклиданахождения наибольшего общего делителя полиномаf(x) и его производнойf(x). Предположим, чтоf(x)не имееткратных корней. Это равносильно тому, чтоНОД(f(x),f′(x))=const≠0. Установить этот факт можно по алгоритму Евклида нахожденияНОД. Оказывается, что в качестве полиномов системы Штурма можно взять последовательность остатков из алгоритма Евклида, если только домножить некоторые из них на(−1). [8]Правило построения системы Штурма:1)f1(x) = f(x)2) Если известныfk-1(x) иfk(x), тоfk+1(x) будет равен остатку от деленияfk-1(x) наfk(x), взятым с обратным знаком (если старший коэффициент отрицателен):fk-1(x) = fk(x)qk(x) – fk+1(x),Продолжаем алгоритм далее, пока не дойдем до последнего ненулевого остаткаfk(x), который совпадает сНОД(f(x),f′(x)). По предположению, этот последнийfk(x)≡const≠0.В процессе деления, в отличие от алгоритма Евклида, остаток можно умножать лишь на произвольное положительное число (для того, чтобы коэффициент при старшей степени был целым или просто удобным), т.к. знак остатка принципиально важен.Если на интервале (a, b) полиномf(x)имеет корень четной кратности, то построение системы полиномов Штурма невозможно.Пример 2.6.Построим систему Штурма и отделим корни полиномаf(x)=x4−x−1.f0=x4−x−1f1=f′(x)=4x3–1.Разделим f(x) на f1(x):Домножаем остаток на 4 и берём его с противоположным знаком: f2(x)=3x+4Разделим f1(x) на f2(x):Полагаем f3(x)=Сначала устанавливаем число вещественных корней (число знакоперемен на–), затем положительных и отрицательных, затем просто дробим промежутки, отыскивая такие, чтобы на каждом была только одна смена знака.––1012+f0++––++f1–––+++f2–+++++f3++++++Кол-во перемен знаков221100Полиномf(x) имеет два различных действительных корня, один на интервале (–1,0), другой – на (1,2).Построим график для проверки отделения корней (рис. 2.1).Рис. 2.1 График многочлена f(x)=x4−x−1Пример 2.7. Отделить вещественные корни многочленаСоставим систему Штурма для заданного многочлена:Домножим на и возьмём остаток с противоположным знаком:Домножим на и возьмём остаток с противоположным знаком:Домножим на и возьмём остаток с противоположным знаком:Домножим на и возьмём остаток с противоположным знаком:Система Штурма:––3–2–100,5123456789+f0––+++–0+++–––+++f1+++–––+++–––++++f2––––+––––––+++++f3+++++–––++++++++f4––––––++++++++++f5++++++++++++++++w55444122221110005 – 0 = 5 – многочлен имеет 5 действительных корней.Они относятся к промежуткам:(–3; –2); (0; 0,5); (0,5;1] (причем x=1 является корнем многочлена); (4; 5); (7; 8)График f(x) на рис. 2.2 подтверждает отделение корней.Рис. 2.2. График многочлена .2.4 Теорема Бюдана и методы цепных дробейВ началеXIX в.Бюдан и Фурье представили две различные (но эквивалентные) теоремы, позволяющие определять максимум возможного числа вещественных корней уравнения с вещественными коэффициентами на данном интервале. Теорема Бюдана появилась в 1807 г., а теорема Фурье была впервые опубликована в 1820 г.Основываясь на предложении Фурье, Штурм представил улучшенную теорему (в 1829 г.), применение которой дает точное число вещественных корней полиномиального уравнения без кратных нулей на вещественном интервале.Исторически это был первый метод, подлежащий развитию, поэтому метод Штурма становится широко используемым, однако, теорема Бюдана заслуживает внимания, поскольку лежит в основе теоремы Винсента (1836 г.), положенной, в свою очередь, в основу метода цепных дробей отделения вещественных корней уравнения.Мы ознакомимся с двумя методами цепных дробей для отделения вещественных корней уравнения; первый (Винсент, 1836 г.) является экспоненциальным, второй был разработан в 1978 г. (автор Акритас) и существенно быстрее метода Штурма.Теорема 2.9(Бюдана): Если в уравненииp(x)=0 относительно x степени n>0 мы сделаем две подстановки x:=p+xи x:=q+x, гдеpи q–вещественные числа, такие, чтоp (дата обращения: 01.12.2021 ).