Усовершенствование вычислений в конце 16 - начале 17 веков: десятичные дроби и логарифмы

К этому пришел Франсуа Виет, впервые изданный в Париже в 1759 года. Он иногда писал числитель десятичной дроби без знаменателя. Такой числитель он выделял мелким шрифтом и подчеркиванием или отделял вертикальной чертой. Правда записи Виета не были систематическими, и он редко пишет числитель и знаменатель в десятичной дроби.Первая попытка систематического введения десятичных дробей была сделана во второй половине XIV в. Иммануилом бен Якобом Бонфисом из Тараскона. В небольшом трактате «Путь деления» Бонфис строит систему дробей, в которой единица делится на 10 прим, прима – на 10 секунд и т.д. до бесконечности. Для этих дробей формулируются правила умножения и деления, причем автор обходится без отрицательных показателей. К сожалению, числовых примеров Бонфис не приводит.На протяжении XIV-XVI вв. десятичные дроби изолированно появляются в различных случаях. Французский математик Жан де Мер писал, что можно записать в виде 1414, если рассматривать первую единицу как целое число, а следующие четыре как десятичные.К концу XVI в. Идея десятичных дробей носилась, можно сказать, в воздухе. Арифметики и вычислители таблиц самостоятельно подходили к ней в разных странах. Но заслуга первого введения в Европе систематических десятичных дробей, с описанием их преимуществ, а также выгоды десятичных мер, принадлежит голландскому купцу, математику и механику Симону Стевину, он издал в 1585 г. В Лейдене маленькую брошюру «Десятая». (см. рисунок 1).Рисунок 1 – Страница из брошюры «Десятая»Деятельность Стевина выходит далко за пределы рассматриваемого времени. Обозначения Стевина, связанные с его алгебраической символикой были неудбны. Число 8,937 он писал в виде , иногда он отмечал только последний разряд. При действиях он писал указатели разрядов как показано на рисунке 2.Рисунок 2 – Указатели разрядов по СтевинуПравда вскоре изобретатель логарифмов Джон Непер предложил отделять целую часть от дробной запятой или точкой., что постепенно утвердилось в течении XVII в.В русской литературе десятичные дроби появляются – в несколько стандартном изложении – в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого, который учил и применению шестнадцатеричных дробей. [4]3.2 Изобретение логарифмовПринцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен вглубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 до н.э.). В те времена интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых чисел использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже Архимед (287-212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней, соответствует сумме показателей степеней. В конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению между геометрической и арифметической прогрессиями. М.Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2.Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строке показателей степени) равна показателю степени двойки, отвечающему произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке степеней). В связи с этой таблицей, Штифель сформулировал четыре правила, которые эквивалентны четырем современным правилам операций над показателями степеней или четырем правилам действий над логарифмами:1) сумма в верхней строке соответствует произведению в нижней строке; 2) вычитание в верхней строке соответствует делению в нижней строке;3) умножение в верхней строке соответствует возведению в степень в нижней строке; 4) деление в верхней строке соответствует извлечению корня в нижней строке.Самтермин «ЛОГАРИФМ»предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь — отношение) и arithmos (число), которое означало“число отношений”. (см. рисунок 3)Рисунок 3 – Джон НепрЛогарифмы с основаниемввел учитель математики Спейдел. Слово основание заимствовано из теории о степенях и перенесено в теорию логарифмов Эйлером. Глагол“логарифмировать”появился в 19 веке у Коппе. Коши первый предложил ввести различные знаки для десятичных и натуральных логарифмов. Обозначения, близкие к современным ввел немецкий математик Прингсхейм в 1893 году. Именно он обозначаллогарифм натурального числачерез ln. Определение логарифма как показателя степени данного основания можно найтиу Валлиса (1665 год), Бернулли (1694 год).В1614 годушотландский математик-любительДжон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием«Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов,косинусовитангенсов, с шагом 1’. Терминлогарифм, предложенный Непером, утвердился в науке.Понятияфункциитогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образомЛогарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.(см. рисунок 4)Рисунок 4 – Логарифмическая линейкаБлизкое к современному пониманиелогарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.Эйлеру принадлежит и заслугараспространения логарифмической функции на комплексную область.[1-3]ЗаключениеВ ходе выполнения данного реферата мы исследовали вопрос об усовершенствовании вычислений в конце XVI – начале XVII века.Для того чтобы более точно выполнить исследования в короткой форме был изучен процесс становления математики как науки в целом.В ходе этих исследований мы выяснили что множество открытий было сделано в эпоху возрождения, поэтому мы устремили наш взор на изучение данной эпохи.Были рассмотрены основные открытия этой эпохи в области математики. Интересовали нас десятичные дроби и логарифмы. В процессе исследования мы рассмотрели историю изобретения и логарифмов и десятичных дробей.По итогу можно сказать, что развитию математики способствует развитие человеческой деятельности. Во втором пункте мы в этом убедились конкретно на примерах. В связи с этим будет уместно сказать, что открытия и исследования в этой области продолжаются до сих пор.Список литературы1. Стройк, Д. Я. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем.—5- изд., испр. / Д.Я. Стройк — М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 1990.— 256 с.2. Колмогоров, А.Н. Математика в ее историческом развитии /А.Н. Колмогоров. – М.: Наука, 1991. –224 с.3.Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки: Книга для учителя / К.А. Рыбников –М.: Просвещение, 1987. –159 с.4.Юшкевич, А.П. История математики в средние века / А.П. Юшкевич – М.: Гос.изд. физико-математической литературы, 1961. -448 с.5. Математика 16-19 веков. URL: https://www.sites.google.com/site/ruzanoveasite/matematika-16-19-vekov. (Дата обращения: 01.12.2021).