Система массового обслуживания

е. для случаяПри этомВ этом случае СДУ преобразуется в алгебраическую систему:В результате решения этой системы уравнений находятся вероятности состояний, по которым оцениваются характеристики эффективности в зависимости от вида СМО.Пример расчета характеристик СМОИсходные данныеНа продовольственный (вещевой) склад производственного логистического центра «Нара» для выполнения погрузо-разгрузочных работ используется n погрузо-разгрузочных механизмов (или n каналов обслуживания). На склад поступают в случайные моменты времени со средней интенсивностью входящего потока λавтомобилей в час. Среднее время обслуживания одного автомобиля составляет tср минут. Оценить эффективность функционирования продовольственного (вещевого) склада производственно-логистического центра «Нара».Вычислить:- параметр системы обслуживания μ;- вероятность того, что в момент поступления автомобиля все механизмы окажутся занятыми (вероятность появления очереди) Роч;- среднее время пребывания в очереди Точ;- средняя длина очереди Lоч;- коэффициент простоя автомобилей;- среднее число погрузчиков, не занятых обслуживанием;- коэффициент простоя погрузчиков;- коэффициент использования погрузчиков.Сформулировать пояснения к полученным результатам.РешениеФункционирование склада можно представить моделью многоканальной системы массового обслуживания (СМО) с очередью. Потоки заявок и обслуживания простейшие с экспоненциальным законом распределения. По классификации Кендалла такая система обозначается как M/M/n/m.Рассмотрим многоканальную СМО (n > 1), на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ, а интенсивность обслуживания каждого канала составляет μ, максимально возможное число мест в очереди ограничено величиной . Дискретные состояния СМО определяются количеством заявок, поступивших в систему, которые можно записать.S0 - все каналы свободны, k = 0;S1 - занят только один канал (любой), k=1;S2 ~ заняты только два канала (любых), k = 2;…………………………………………………..Sn - заняты всеn каналов, k=n.Пока СМО находится в любом из этих состояний, очереди нет. После того как заняты все каналы обслуживания, последующие заявки образуют очередь, тем самым определяя дальнейшее состояние системы:Sn+1 - заняты все n каналов и одна заявка стоит в очереди, k=n+1,Sn+2 - заняты все n каналов и две заявки стоят в очереди, k=n+ 2;…………………………………………………….Sn+m - заняты все n каналов и все m мест в очереди, k=n+m.Граф состояний n-канальной СМО с очередью, ограниченной m местами, представлен на рис. 4.Рис. 4. Граф состояний n-канальной системы с ограничением на длину очереди mПереход СМО в состояние с большими номерами определяется потоком поступающих заявок с интенсивностью λ, тогда как по условию в обслуживании этих заявок принимают участие n одинаковых каналов с интенсивностью потока обслуживания равного μ для каждого канала. При этом полная интенсивность потока обслуживания возрастает с подключением новых каналов вплоть до такого состояния Sn, когда все n каналов окажутся занятыми. С появлением очереди интенсивность обслуживания более не увеличивается, так как она уже достигла максимального значения, равного nμ.Запишем выражения для предельных вероятностей состояний:Выражение для р0 можно преобразовать, используя формулу геометрической прогрессии для суммы членов со знаменателем ρ/n:Образование очереди возможно, когда вновь поступившая заявка застанет в системе не менее n требований, т.е. когда в системе будет находиться n, n+1, n+2, …, (n+m-1) требований. Эти события независимы, поэтому вероятность того, что все каналы заняты, равна сумме соответствующих вероятностей pn,pn+1,pn+2, …, pn+m-1,Поэтому вероятность образования очереди равна:Вероятность отказа в обслуживании наступает тогда, когда все n каналов и все m мест в очереди заняты:Относительная пропускная способность будет равна.Абсолютная пропускная способность равна:.среднее число занятых каналов среднее число простаивающих каналов коэффициент занятости (использования) каналов коэффициент простоя каналов среднее число заявок, находящихся в очередях,среднее время ожидания в очереди определяется формулами ЛиттлаСреднее время пребывания заявки в СМО, как и для одноканальной СМО, больше среднего времени ожидания в очереди на среднее время обслуживания, равное 1/ μ, поскольку заявка всегда обслуживается только одним каналом:Примем следующие исходные данные:nmtпостtобсл4540150Вычисления показателей эффективности функционирования продовольственного (вещевого) склада производственно-логистического центра «Нара» проведем средствами программы Exel:lambda0.025mu0.006667ро3.7534.08827Вероятность отказа 0.09487n4Среднее число занятых каналов3.394236m5Вероятность наличия очереди0.541958Средняя длина очереди1.556046iро^i/i!PiСреднее время ожидания в очереди62.24186010.015899Относительная пропускная способность0.9051313.750.05962Абсолютная пропускная способность0.02262827.031250.111788Среднее число занятых каналов 3.39423638.7890630.139734Среднее число простаивающих каналов0.60576448.2397460.131001Коэффициент занятости (использования) каналов0.84855962.89833Коэффициент простоя каналов0.151441s(ро/n)^sPn+sСреднее время предывания в СМО212.241910.93750.1228130.12281320.8789060.1151380.23027530.8239750.1079420.32382540.7724760.1011950.40478150.7241960.094870.474352ЗаключениеРассмотрены принципы анализа систем массового обслуживания, определен состав характеристик эффективности обслуживания. Показан принцип применения модели «размножения – гибели» для вывода уравнений Колмогорова. На основании решений уравнений Колмогорова находятся вероятности состояний стационарного (установившегося) режима СМО. Затем можно определить характеристики эффективности в зависимости от поставленной задачи.На основе конкретного примера погрузо– разгрузочных работ на логистическом складе показан принцип определения характеристик СМО с ограниченной длиной очереди.Список использованной литературыКарташевский В. Г.Основы теории массового обслуживания. Учебник длявузов. – М.: Горячая линия–Телеком, 2013. – 130 с: илРоманенко, Владимир Алексеевич. Системы и сети массового обслуживания: учебноепособие / В.А. Романенко. – Самара: ИздательствоСамарского университета, 2021. – 68 с.: ил.Соколов, А. Н.Однолинейные системы массового обслуживания: учебное пособие / А. Н. Соколов, Н. А. Соколов. – СПб.: Изд-во «Теледом»ГОУВПО СПбГУТ, 2010. – 112 с.Солнышкина И.В. Теория систем массового обслуживания: учебное пособие/ И.В. Солнышкина. – Комсомольк-на-АмуреЖ ФГБОУ ВПО «КнФГТУ», 2015. – 76 с.