Схема межотраслевого баланса. Продуктивность модели Леонтьева

руб.):Отрасль производстваПроизводственное потреблениеКонечный продуктВаловой выпускПромышленностьСельское хозяйствоПромышленность0,72,17,210Сельское хозяйство1,21,512,315Требуется вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт промышленности увеличится вдвое, а сельского хозяйства останется на прежнем уровне.Решение:Из таблицы коэффициенты прямых затрат:;;;Таким образом, матрица прямых затратимеет неотрицательные элементы и, очевидно, удовлетворяет критерию продуктивности, так как 0,07+0,12=0,19<1; 0,14 + 0,10 = 0,24 <1По условию задачи, в измененных условиях производства конечный продукт промышленностиY1должен составить 7,22 = 14,4 млрд. рублей, а конечный продуктY2сельского хозяйства должен остаться неизменным и составить 12,3 млрд. рублей. Поэтому для определения соответствующих валовых объемовX1иX2этих отраслей получаемследующую систему линейных уравнений 2-го порядка:Ее главный определительне равен нулю. Значит, система имеет единственноерешение. Используя метод Крамера, получим:и;;Условие продуктивности модели ЛеонтьеваПлановые расчеты по модели Леонтьева можно проводить, если выполняется условие продуктивности.Напомним, что уравнение X=AX+Y представляет собой систему балансовых уравнений, описывающую экономико-математическую модель межотраслевого баланса.Неотрицательная матрицаА называется продуктивной, если для любого неотрицательного вектора Y существует неотрицательное решение X уравнения X–AX=YСуществует несколько критериев продуктивности матрицы А:1) МатрицаА продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, т.е. матрица А продуктивна, если , i,j=1, …, n и , и существует номер j такой, что .2) Для того чтобы обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:a) Определитель матрицы (E–A) не равен нулю, т.е. матрица (E–A) имеет обратную матрицу (E–A)–1.b) Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т.е. решение уравнения |λE – A| = 0 строго меньше единицы.c) Все главные миноры матрицы (E–A) порядка от 1 до n, положительны.Рассмотрим следующую теорему:Теорема. Для того чтобы модель межотраслевого баланса с матрицей коэффициентов прямых затрат A была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы матрица (E – A) имела неотрицательную обратную матрицу. Доказательство:Докажем необходимость. Пусть матрица E–Aимеет обратную матрицу (E–A)–1, все элементы которой неотрицательны. Тогда решением уравнения: X – AX = Y будет вектор X=(E–A)–1Y, который в силу неотрицательности матрицы A и вектора Y также будет неотрицательным.Достаточность следует непосредственно из (E–A)–1≥0.Эта теорема является первым критерием продуктивности.[4]Пример 3. Исследовать на продуктивность матрицуРешение:ИмеемТаким образом, матрица продуктивна.На практике проще пользоваться достаточными условиями продуктивности матрицы A: Если в матрице Aсумма элементов каждой строки (столбца) не превосходит единицы, и хотя бы для одной строки (столбца) меньше 1, то эта матрица продуктивная.Пример 4. Исследовать на продуктивность матрицуРешение:0,4+0,5=0,9<10,6+0,2=0,8<1Так как обе суммы элементов столбцов матрицы меньше единицы, то матрица A продуктивна.ЗаключениеМы рассмотрели модель межотраслевого баланса, разработанную американским экономистом В.В.Леонтьевым.Межотраслевой баланс или модель «Затраты–Выпуск» отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.Межотраслевой баланс представляет собой системулинейных уравнений X = AX + Y. C помощью этой системы можно: 1. Определить объем конечной продукции отрасли2. Определить величины валовой продукции каждой отрасли3. Установив для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти объемы конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.Таким образом, межотраслевой баланс позволяет -позволяет оценить последствия структурных изменений в экономике и затраты ресурсов на эти изменения;- дает возможность прогнозировать будущую структуру экономики, возникающую в процессе реализации различных сценариев развития. [2]Список использованной литературы:Гармаш, А.Н. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебник для бакалавриата и магистратуры / А.Н. Гармаш, И.В. Орлова, В.В.Федосеев; под редакцией В.В.Федосеева – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2019. – 328с.Ивантер В.В. Роль межотраслевого баланса в макроэкономическом анализе и прогнозировании // Проблемы прогнозирования. 2018. №6 (171). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/rol-mezhotraslevogo-balansa-v-makroekonomicheskom-analize-i-prognozirovanii (дата обращения: 17.05.2022).Межотраслевой баланс. [Электронный ресурс].URL: https://www.grandars.ru/student/nac-ekonomika/mezhotraslevoy-balans.html(дата обращения: 17.05.2022).Поздняков, В. Я. Экономика отрасли : учеб.пособие / В. Я. Поздняков, С. В. Казаков. – М. : ИНФРА-М, 2010. – 309 с.Ризванова М.А. Применение модели межотраслевого баланса В. Леонтьева в прогнозировании экономики // Вестник Башкирск. ун-та. 2015. №3. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-modeli-mezhotraslevogo-balansa-v-leontieva-v-prognozirovanii-ekonomiki (дата обращения: 17.05.2022).Рябушкин Борис Тимонович История создания и развития отечественного межотраслевого баланса и его места в статистике и макроанализе // Вестник ГУУ. 2013. №17. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/istoriya-sozdaniya-i-razvitiya-otechestvennogo-mezhotraslevogo-balansa-i-ego-mesta-v-statistike-i-makroanalize (дата обращения: 17.05.2022).Сидоров Максим Андреевич Особенности формирования региональных межотраслевых балансовых моделей // Научный вестник ЮИМ. 2019. №1. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/osobennosti-formirovaniya-regionalnyh-mezhotraslevyh-balansovyh-modeley (дата обращения: 17.05.2022).