Метод комплексных чисел в геометрии.

Подставим последние два тождества в уравнения и получим:,или, что то же самое:Добавляяперепишем уравнение:.Легко видеть, что искомое геометрическое местоэто две прямые, одной из которых будетАВ, а другая задаётся равенством: (22)Заметим, чтоона отдельна от АВ, изависит только отокружности и точкиС.Такую прямую называютполярой точки С относительно окружности .Задача 20.Рассмотрим квадрат ABCD, описанный около единичной окружности.Построимортогональные проекции из его вершин на случайную касательную единичной окружности. Показать:.Решение. Без потери общности можно выбрать систему координат, у которой точки соприкосновения сторон АВ, ВС, CD, DA с окружностью будут задаваться числами .Понятно, что в такой системе вершиныА, В, С, D будут находиться в комплексных точках соответственно.Вспомним уравнение, задающее касательную к окружности в случайной точке Р (р):Из тождества (13) будем иметь:Или, что то же самое:Что и требовалось доказать.Задача 21.Пусть треугольник АВСэто половина квадрата. Рассмотрим проекции и вершин его катетов на прямую, на которой лежит вершинаСего прямого угла, параллельно случайной прямой l. Показать, что выражениеявляется функцией угла между осью проекций и прямой l.Решение.Без потери общности можно считать ось проекций абсциссой, а вершину СцентромО. Тогда прямаяl принадлежитО и имеет точкуР(р),|p|=1, тождество которойбудет: .Понятно, чторазA комплексно представлено как а, |а|=1, то точка Впредставлена какai (рис.4).В нашей конфигурации, отрезкамАА1 и BB1соответствуют тождества и .Понятно, что любая точка оси абсцисс будет равна своему сопряжённому: .Теперь подставим всё это в два уравнения и выведем комплексные представления точекА1 и В1:Далее, вычисляем чему будет равна указанная сумма квадратов в комплексном представлении:,здесь – угол,искомый по условию задачи. Что и требовалось показать.Задача 22.Возьмём на окружности точки А, В, С, D так, чтобы получившиеся окружности с центрами A,В, С пересекались вDи попарно в точках (рис.5). Показать что тогда точкибудут лежать на одной прямой.Решение.Без потери общности примемза единичную окружность, а точкеDзададим координатуd=l.Вспомним формулу (14), применив которую к окружностивыведем ее тождество:,.Повторим процедуру для двух других окружностей и : и .Решим получившуюся систему уравнений для и , вычислимкомплексное представлениеМ3: m3=a+b-ab.Проделаем то же самое для двух других искомых точек:m2=c+a-ca, m1=b+c-bc.Наконец, получаем:.Легко видеть, что это тождество будет вещественным, а следовательно, точки лежат на одной прямой. Что и требовалось показать.Задача 23.Построить геометрическое место центров окружностей, которые проходят ортогонально некоторой фиксированной окружности через фиксированную точку М (т):.Решение.Предположим, что фиксированная окружность удовлетворяет условиям задачи.Следовательно:Так как член нам не интересен, исключим его и приведём всё к одному тождеству относительно :.Это комплексная запись прямой с нормированным вектором, комплексная форма которого равна . Здесь это центр фиксированной окружности. Получается, что эта прямая будет перпендикулярна AM (рис.6).Задача 24.Даны n комплексных чисел C1, C2,..., Cn, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что: (Ф1)то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.Решение:Предположим обратное: точка z лежит вне рассматриваемого многоугольника C1...Cn. Тогда через точку z можно провести прямую, не пересекающую многоугольник C1...Cn. Поэтому векторы (z - C1), ..., (z –Cn) лежат в одной полуплоскости, заданной этой прямой. Следовательно, в одной полуплоскости лежат и векторы, обратные к данным. Но это значит, что указанное тождество (Ф1) не будет равно нулю. Получаем противоречие с условием задачи, получается обратное предположение было ложным, а значит исходное истинно. Что и требовалось доказать.Задача 25.Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на одной прямой если и только еслиих простое отношениевещественно. Решение:Пусть A, B, C — точки, соответствующие числам a, b, c. Комплексное число (a - b) : (a - c) вещественно тогда и только тогда, когда векторы AB и AC пропорциональны. Что и требовалось доказать.Задача 26. Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда их двойное отношение вещественно.Решение:Пусть S — окружность (или прямая), на которой лежат точки b, c, d. Прибавив, если нужно, ко всем четырем числам одно и то же комплексное число (это не изменяет двойное отношение), можно считать, что окружность S проходит через центр. Значит, ее образ при инверсии — прямая. Хорошо известно, что двойное отношение сохраняется при инверсии. Поэтому остается доказать, что число a лежит на той же прямой если и только если их двойное отношение вещественно. Но мы это уже показали в предыдущей задаче. Задача 27.Площадь треугольника равна , периметр его равен 18, расстояние от центра вписанной окружности до одной из вершин равно . Найдите наименьшую сторону треугольника.Решение:Пусть O — центр окружности, вписанной в данный треугольник ABC,r — её радиус, S = , — площадь, 2p = 18 — периметр, M — точка касания со стороной AC.Поскольку S = p * r, тоr = Из прямоугольного треугольника AOM находим, чтоAM = =4.Из равенства AM = p - BC находим, что BC = 5. Обозначим CM = x. Из равенства CM = p - AB находим, что AB = p - CM = 9 - x.Составим уравнение из формулы Герона и найдём, что x = 2 или x = 3. В первом случае AB = 7, AC = 6. Во втором — AB = 6, AC = 7. Следовательно, в каждом из этих случаев сторона BC = 5 — наименьшая.Задача 28 (Неравенство Птолемея). Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то:AB * CD + BC * AD >= AC * BDРешение: Утверждение задачи вытекает из следующих свойств комплексных чисел: 1) | z * w| = | z| * | w|2) | z + w|<=| z| + | w|Действительно, если a, b, c, d — произвольные комплексные числа, то(a - b)(c - d )+ (b - c)(a - d )= (a - c)(b - d ).Отсюда следует искомое неравенство. Что и требовалось доказать.Задача 29 (Обобщённое неравенство Птолемея). Пусть A1, A2, ...A6 — произвольные точки плоскости, тогда:Решение: Аналогично предыдущей задаче нужно лишь проверить соответствующее тождество для комплексных чисел a1, ..., a6. Это тождество получается из написанного в условии неравенства заменой знака «меньшеилиравно” на знак «равно», и заменой каждого сомножителя AiAjна сомножитель (ai - aj).Задача 30. Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.Решение: Нестрогое неравенство |z + w|<=| z| + | w| обращается в равенство тогда и только тогда, когда комплексные числа z и w пропорциональны с вещественным положительным коэффициентом пропорциональности. Поэтому, как видно из решения задачи 28, неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда число двойное отношение вещественно и положительно. Пусть q — это двойное отношение чисел a, b, c, d. Остается доказать, что если данные точки лежат на одной окружности, то q отрицательно если и только если ломаная abcdнесамопересекающаяся. Последнее условие эквивалентно тому, что точки b и d лежат на разных дугах, высекаемых точками a и c. Отобразим нашу окружность при помощи инверсии на прямую. В решении задачи 29.26 показано, что двойное отношение сохраняется при инверсии. Поэтому если a*, b*, c*, d* — комплексные числа, соответствующие образам наших точек, то их двойное отношение равно q. Рассматривая всевозможные (с точностью до порядка) способы расположения точек a*, b*, c*, d* на прямой, легко убедиться, что q < 0если и только если на отрезке a'c' лежит ровно одна из точек b' и d'. Что и требовалось доказать.ЗаключениеМы наглядно показали, что большинство задачдвумерной геометрии поддаются эффективному решению методом комплексных чисел. Использование этого метода не только ускоряет и упрощает решение, но и позволяет посмотреть на задачу с другой стороны, что, в свою очередь, поможет выявить новые грани и симметрии известных утверждений.Конечно, данная работа не может вместить в себя все теоремы и задачи, однако мы постарались как можно более подробно описать решения задач чтобы как можно более чётко показать эффективность метода комплексных чисел.В следующих работах мы рассмотрим применение этого метода к другим разделам геометрии, таким как: стереометрия и вычислительная геометрия. Последняя сегодня активно используется в программировании для корректной отрисовки графических моделей.Подводяитоги, мы делаем вывод: метод комплексных чисел настолько прост в использовании, что его можно преподавать даже школьникам, увлекающимся математикой, на кружках и специальных курсах.Одно из главных «продающих» качеств метода комплексных чисел заключается в том, что он пробрасывает мост между двумя, казалось бы, никак не связанными между собой математическими дисциплинами: алгеброй, заинтересованной только в манипуляции символами, и геометрией, активно использующей пространственное мышление.Список использованной литературыЗ. А. Скопец “Геометрические миниатюры”.- М.: Просвещение, 1990Л. И. Волковский “Сборник задач по теории функций комплексных переменных”.- М.: Просвещение, 1985И. И. Привалов “Введение в теорию функции комплексного переменного”.- М.: Просвещение, 1988