Эллиптические уравнения общего вида. Сильная эллиптичность

Разобьем независимые переменные на две группы: с областью изменения G⊂и с областью изменения D⊂. Обозначим через S и Γ границы областей G и D соответственно. В области G × D⊂рассмотрим краевую задачу на собственные значения для уравнения эллиптического типа:Lu+Mu=λu, (2.17)15(2.18)где L и M - эллиптические операторы, не зависящие от y и x соответственно; функции α и β не зависят от , а γ и δ - от x.Собственные функции ищутся в виде произведения u(x,y)=X(x)Y(y). Не повторяя известные выкладки, отметим, что есть собственные значения и собственные фу́нкции задачи (2.17), (2.18).2.3. Краевые задачи для уравнений Лапласа и ПуассонаРассмотрим конечную область D, ограниченную замкнутой поверхностью (в двумерном случае — кривой) Ляпунова S. Классическим решением внутренней задачи Дирихле называют функцию u(M), непрерывную в замкнутой области D, удовлетворяющую в открытой области D уравнению Лапласа и принимающую на поверхности S заданные значения . Классическим решением внутренней второй илитретьей краевой задачи называют функцию u(M), непрерывную вместе с первыми производными в замкнутой области D и 17удовлетворяющую в открытой области D уравнению Лапласа, а на поверхности S — заданным краевым условиям второго или третьего рода.Классическое решение внутренней задачи Дирихле∆u(M) = 0, M ∈ D, и внутренней задачи Гаусса∆u(M) = 0, M ∈ D, где n — внешняя по отношению к области D нормаль к поверхности S,h(P) ≠ 0 является единственным, необходимым и достаточным условием существования решения внутренней краевой задачи Неймана∆u(M) = 0, M ∈ D, является требованиепричем, решение определяется с точностью до произвольной аддитивной константы.Чтобы выделить единственное решение внешней граничной задачи, необходимо потребовать выполнения дополнительного условия, 16характеризующего поведение искомой функции при бесконечном удалении отграницы. Для уравнения Лапласа это условие равносильно требованию регулярности решения на бесконечности. При этом следует различать регулярность функции на бесконечности в двумерном и в трехмерном случаях. В трехмерном случае функция u называется регулярной на бесконечности, если существует такая постоянная A > 0, что вне некоторойсферы справедливы неравенстваНа плоскости функция u называется регулярной на бесконечности, если для нее существует конечный предел при неограниченном росте аргумента. В трехмерном случае для гармонической функции требование равномерности u → 0, r → ∞ эквивалентно требованию регулярности на бесконечности. В пространственном случае решение первой, второй и третьей граничных задач, регулярное на бесконечности, является единственным (для третьей краевой задачи при h(P) ≥ 0, если n — внешняя по отношению к области D нормаль к поверхности S).На плоскости решение внешней задачи Неймана существует не всегда, а если и существует, то не является единственным, а определяется с точностью до произвольной аддитивной константы.2.4. Сильная эллиптичностьСильная эллиптичность — это равномерная положительная определенность действительной части главного символа — матрицыСильно эллиптические системы дифференциальных уравнений составляют часть класса эллиптических систем. Для сильно эллиптических систем характерно свойство полуограниченности их главных самосопряженных частей. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравненийгде суммирование производится по различным системам индексов (), принимающим значения от 1 до n, и через (i=1, 2,..., N) обозначен 17произвольный линейный дифференциальный оператор от порядка < 2m — 1. Систему () можно короче записатьв матричном виде:и через Тu обозначен произвольный линейный дифференциальный оператор порядка <2m.Каждая из матриц представляется в виде суммы симметрической и кососимметрической матрицгде, очевидно, и - матрица, транспонированная (сопряженная) относительно А. Определение. Система (1.) (или (2.22)) называется сильно эллиптической в точке , если матрица где - симметрическая часть матрицы является положительно определенной для любых действительных чиселне обращающихся одновременно в нуль.На кососимметрические части матриц, т.е. на , и на коэффициенты при членах порядка < 2m, никаких ограничений не налагается.Система уравнений (2.21) называется сильно эллиптической в области D n-мерного эвклидова пространства, если она сильно эллиптична в каждой точке x ∈ D. В случае одного уравнения, очевидно, что и условие сильной эллиптичности совпадает с общим условием эллиптичности.3. Практическая часть3.1. Определение типа уравненияРассмотрим общий вид линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции u(x,y)18- дискриминант уравнения, которое принадлежит гиперболическому типу при D>0, параболическому типу при D=0 и эллиптическому типу при D<0.Пример 1. Уравнение . D=2⋅2-1⋅3=1>0 и, значит, это уравнение принадлежит гиперболическому типу.Пример 2. Уравнение . D=2⋅2-1⋅4=0 и, значит, это уравнение принадлежит параболическому типу.Пример 3. Уравнение . и, значит, это уравнение принадлежит эллиптическому типу во всех точках, не лежащих на прямых x=0 или y=0, то в любом открытом квадранте данное уравнение имеет эллиптический тип. 3.2.Приведение к каноническому видуВернемся к уравнению (3.1) и введем вместо (x,y)новые независимые переменные (ξ,η). С помощью преобразования переменных ξ=φ(x,y), η=ψ(x,y), допускающего обратное преобразование. получим уравнение эквивалентное исходному. Достаточным условием независимости ξ=φ(x,y) и η=ψ(x,y) является отличие определителя от нуля.Производные в новых переменных вычисляются по формулам:19Далее рассмотрим характеристическое для (3.1) уравнение которое распадается на два уравнения:Общие интегралы уравнений(характеристики уравнения (3.1)) будут:(x,y)=, (x,y)= для гиперболического типа (Пример 1 из 3.1.)(x,y)= для параболического типа (Пример 2 из 3.1.)(x,y)±i (x,y)= для эллиптического типа (Пример 3 из 3.1.)3.3. ПримерыПродолжим примеры из 3.1.Пример 1.Составим характеристическое уравнение: Следовательно, уравнение имеет характеристики , Поэтому положим , Так как вторые производные ξ и η равны нулю. Тогда20Подставив эти выражения в исходное уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим канонический вид уравненияПример 3.Характеристическое уравнение: Следовательно, уравнение имеет комплексно сопряженные характеристики Поэтому , . Тогда Подставив эти выражения в исходное уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим канонический вид уравнения Следует отметить, так же, что уравнение (3.1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение является уравнением эллиптического типа в точках (x, y), y > 0, параболического типа в точках (x,0) и гиперболического типа в точках (x, y), y<0.3.4. Достоинства и недостатки численных методовНесмотря на развитый аппарат, далеко не все задачи матфизики можно решить аналитическими методами.Поэтому, с ростом производительности вычислительной техники, развивались и численные методы решения. Их достоинством является существенно большая универсальность, а главными недостатками - весьма вероятные немонотонность решения и несохранение моментов массы, импульса и энергии.Поэтому сравнение результатов численного решения с аналитическим является весьма актуальной задачей.ЗаключениеВ настоящей работе сделана попытка максимально кратко изложить основные положения теории эллиптических уравнений общего вида, включая понятие сильной эллиптичности.21Литература[1] Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.[2] М. С. Агранович, Спектральные задачи в липшицевых областях для сильно эллиптических систем в банаховыхпространствах ,Функц. анализ и его прил., 42:4 (2008), 2–23[3] Вишик М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальныхуравнений. // Математический сборник. -Т. 29 (71), N. 3. -1951