Методика обучения учащихся решению задач на доказательство в курсе планиметрии

3. Площадь параллелограмма ABCD равна 104. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции EBCD (см. рис.4).


Рисунок 4

Сложность данной задачи состоит в том, что учащиеся привыкли видеть трапецию в ином виде, когда параллельные основания находятся вверху и внизу. Здесь же трапеция развернута, поэтому для выпускников такая ситуация не совсем привычна.
4. Основания трапеции равны 1 и 11. Найдите бóльший из отрезков, на которые делит среднюю линию данной трапеции одна из её диагоналей (см. рис.5).


Рисунок 5

Формулировка этого задания вводит учащихся в заблуждение тем, что известно данных больше, чем используется при решении. Достаточно здесь заметить, что средняя линия трапеции совпадает со средней линией треугольника. В решении остается найти среднюю линию треугольника, используя одно нижнее основание.
5. Найдите тангенс угла АОВ, который изображен на рисунке 6.


Рисунок 6

Здесь некоторые обучающимися забывают о дополнительном построении. Нужно от точки В опустить перпендикуляр на луч ОА и получить прямоугольный треугольник. Вспомнить, что тангенс угла равняется отношению противолежащего катета к прилежащему катету, а катеты посчитать по клеткам.
Анализируя эту ситуацию, можно сделать вывод, что в простых формулировках задач, даже неслабые ученики испытывают сложности. В большинстве ситуаций при изменении формулировки условия задачи, выпускники путаются, пугаются, не могут найти правильный подход к решению.
Исходя из этого можно составить следующие рекомендации:
1. Активнее вводить тестовые технологии в систему обучения. Тренировочные тесты проводить по каждой теме с жестким ограничением времени.
2. Использовать разные формы заданий, обеспечивая разнообразие формулировок и приучая учащихся к пониманию сути задания, которая может выражаться по- разному.
3. После каждого тематического блока проводить теоретический зачет. Зачета должен быть не в виде фронтального опроса в классе, а в виде заданий, которые приближены к заданиям из экзамена. Так, к примеру, из приведенных утверждений выбрать верное/неверное; закончить фразу или вставить пропущенные слова.
4. На каждом уроке в качестве разминки включать типичные экзаменационные задачи.
5. Позитивный эффект даст постоянное упоминание о достижениях великих математиков, рассказы о потрясающих и интересных фактах данной науки.
Следовательно, нужно использовать все возможности для того, чтобы дети учились с интересом и успешно сдали экзамен. Подготовка учащихся к ОГЭ – это большой труд, но знание своего предмета, любовь к нему и к своим ученикам будут способствовать преодолению сложностей.

Методические рекомендации к обучению решению задач на доказательство в планиметрии
Одним из явных минусов современного стиля обучения математике в школе является догматический характер доказательства. Ученику в голову не приходит, что доказательства можно проводить по-разному (и в разной последовательности). Разумеется, такая практика не даёт особенного эффекта в развитии мышления человека и его личности в целом. С другой стороны, ясно, что на уроке (при условии минимума времени на изучение математики) рассмотреть разные способы доказательства многих теорем просто невозможно. Тем не менее, данную работу можно вынести на иные формы обучения: индивидуальные задания дома и в классе, занятие кружка, дополнительные беседы, элективные и факультативные курсы. Но все же рекомендовано учителю «выкраивать» время для хотя бы еще одного доказательства теоремы или задачи на доказательство, в том числе, и в качестве пропедевтики.
Самое сложное в организации решения задачи различными способами это помощь учителя в нахождении таких способов. При этом учитель должен выступить не с идеей нового варианта доказательства (или различных вариантов), а с вопросом или серией вопросов, которые инициируют появление соответствующей идеи или идей. Трудность связана с тем, что данная творческая деятельность учителя направлена не на применение некоторого знания или приёма, а на развитие интуиции или воображения ученика.
Представим некоторые общие условия, которые способствуют успешному нахождению разных способов доказательства требований задач.
Для успешного обучения школьников нахождению разных способов доказательства надо научить их при помощи синтетической деятельности получать необходимые посылки для доказательства предложений.
Для обеспечения индивидуального характера данного процесса нужно ориентироваться на разные уровни способностей учащихся.
Учитель обязан умело и постоянно наблюдать за процессом мышления учащихся, анализировать и изучать его. Это очень важная задача, осуществление которой способствует привитию интереса к предмету.
Если учителю удаётся привить учащимся интерес к отысканию разных способов решения задач (доказательств математических предложений), то он сможет практиковать такую работу и в процессе изучения программного материала.
Представим задачу, и решим её несколькими способами.
Задача: Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, которые прилежат к боковым сторонам равновелики.


Рисунок 7

Для решения этой задачи разными способами можно разбить класс на 3-4 группы. Каждой группе даётся карточка с условием задачи и подсказкой идеи решения. Цель каждой группы выработать стратегию доказательства на основе идеи (идей), которая предложена в карточке. При затруднении учитель задаёт наводящие вопросы каждой группе. Группа стремится обосновать своё доказательство, используя при этом минимальное число подсказок. Выдвинув своё доказательство, группа направляет своего представителя к доске. Данный ученик объясняет доказательство. Проверка решения осуществляется в форме беседы. Учащиеся анализируют решение и задают вопросы. Учитель концентрирует внимание учеников на самых важных моментах рассуждения.
I. Указания первой карточки:
II. Указания второй карточки:
Идея доказательства: прировнять площади искомых фигур.


Рисунок 8

Подсказки первой группе:
«Не видите ли вы треугольник, в который включаются ΔАВО и ΔCDO»?
Данной подсказки может быть достаточно для решения задачи.
Если первая подсказка не помогла, то группе предлагаются следующие наводящие вопросы:
2. «Площади каких фигур включают в себя площадь треугольника ABD (ΔACD )»?
3. «Что является пересечением треугольников ABD и ACD»? И подобные вопросы.
Опираясь на принадлежность одних треугольников другим, учащиеся первой группы выстраивают следующее доказательство самостоятельно или используя приведённые подсказки.
Решение первой группы:
1) Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔACD. У них общее основание и равные высоты, которые проведены к данному основанию.
2) Из этого можно сделать следствие:
и

3) Площади равны, => треугольники равновелики.
Ч.Т.Д.
II. Указания второй карточки:
Идея доказательства:
а) использовать метод от противного.
б) провести через т. O отрезок MN || BC.
Подсказки группе:
Подсказку можно дать на часть б) – «Воспользоваться ранее доказанным фактом о том, что OM=ON.
Способ решения части а):
1) Допустим обратное:
2) Тогда , и следовательно – это приводит к противоречию, что – ABCD трапеция.
3) Значит, допущенное неверно и
Ч.Т.Д Способ решения части б):
1) Разобьем, рассматриваемые треугольники и на части.
Для этого проведем MN || BC, OM=ON.


Рисунок 9

2) Получаем, что треугольники и состоят из двух треугольников, площади которых: , .
3) Следовательно,
III. Указания третьей карточки:
Идея доказательства: Вычислить площади треугольников, используя подобие.
Подсказки группе: По известной формуле: вычислите площади треугольников и , используя подобие треугольников и .
Решение третьей группы:
1) , тогда и .
2) Умножив обе части последнего равенства на получаем:

где .
3) Следовательно,
Ч.Т.Д.
Учащиеся формируются в группы по умениям и способностям. Каждая группа выступает со своим доказательством. Усвоив решение своей группы, ученик может овладеть другими способами доказательства. В ходе представления доказательства учащийся развивает свою математическую речь, показывает умение отстаивать идеи и рассуждать.
Описанный выше подход приводит, во-первых, к развитию математического мышления в целом. Во-вторых, исчезают боязнь неуспеха, страх перед задачей, повышается самооценка в данном виде деятельности.

Заключение

Таким образом, можно сделать следующие выводы.
Предложенная в курсовой работе система обучения построению доказательства позволяет рассматривать решение задачи как самостоятельное исследование, раскрывает творческий потенциал учащихся, способствует развитию математического, в частности, логического мышления. Данный подход учит школьников рассуждать, отстаивать свои идеи, вырабатывать умение критически оценивать результаты своей деятельности и работы иных учеников.
В методике преподавания математики накоплен богатейший опыт по решению логических и математических задач, разработано и проверено на практике множество приёмов и методов обучения. Поэтому учитель может для конкретной ситуации, которая сложилась в конкретном классе, подобрать эффективную совокупность приемов и методов обучения. При этом он учитывает особенности своего стиля работы, а также класса.
Учитель может применять предложенные методические рекомендации как в процессе решения задач обязательного курса геометрии основной школы, так и для индивидуальной, элективной и факультативной внеклассной работы.
Библиографический список

Атанасян Л.С. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян [и др.]. - М.: Просвещение, 1997. - 176 с.
Атанасян Л.С. Изучение геометрии в 7 - 9 классах: пособие для учителей / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др. - 7-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 255 с.
Березина Л.Ю. Геометрия в 7-9 классах: Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии по учебному пособию А.В. Погорелова: Пособие для учителя / Л.Ю. Березина [и др.]. - М: Просвещение, 2010. -78 с.
Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. Геометрия 7-9: Методическое пособие к углубленному курсу развивающего математического образования. М: Институт учебника «Пайдейя», 2008. - 178 с.
Воистинова Г.Х. Задачи на построение как средство совершенствования приемов мышления студентов: Монография. - Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2013. - 176 с.
Высоцкий И.Р., Ященко И.В. ЕГЭ-2013. Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. М.: САТ, Астрель, 2013. 123с. 
Гордин, Р.К. ЕГЭ 2012. Математика. Решение задачи С4 / Р.К. Гордин. - М.: МЦНМО, 2012. - 328 с.
Громыко Ю.В. Знак: логика и методология. Руководство для управленцев и педагогов. М.: Пушкинский институт, 2009. 288 с.
Гусев, В.А. Практикум по элементарной математике: Геометрия: учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей / В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 1992. - 352 с.
Зеленский, А.С. Геометрия в задачах / А.С. Зеленский, И.И. Панфилов. - М.: Научно-технический центр «университетский»: УНИВЕР-ПРЕСС, 2008. - 272 с.
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии: Учеб. пособие: 3-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2004. - 336 с.
Прокофьев, А.А. Математика. Подготовка к ЕГЭ: решение планиметрических задач (С4) / А.А. Прокофьев, А.Г. Корянов. - Ростов-на-Дону: Легион, 2014. - 208 с.
Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи / Л.М. Фридман. - М.- Воронеж: Изд-во НПО мОдЭК, 1999.
Хуторской А.В. Метапред-метное содержание и результаты образования: как реализовать федеральные государственные образовательные стандарты // Интернет-журнал «Эйдос». 2012. № 1.
Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: учебное пособие для 10 кл. сред. шк. / И.Ф. Шарыгин. - М.: Просвещение, 1989. - 252 с.









2