Продольные колебания сопряженных стержней

В данном примере таких условий:
(k-1)(3=(3-1)(3=6.
Силовые условия – это условия равновесия узла.
Вырежем узел стержневой системы (рис.18). В результате этого в сечениях возникнут внутренние силовые факторы – продольная сила, поперечная сила и изгибающий момент. В каждом узле можно составить три уравнения равновесия: (Y1=0, (Z1=0, (MА=0. В нашем примере один узел, поэтому таких условий 3.











Рис.18




3. Опорные граничные условия. Каждая опора дает по три таких условия.


V=0, W=0, (=0;

M=0, V=0, N=0 или M=0, Q=0, W=0 (в зависимости от того как расположен подвижный шарнир по отношению к стержню);

М=0, V=0, W=0.

Заметим, что для свободного конца стержня возможно записать только силовые граничные условия: N=0, M=0, Q=0.
В нашем примере опоры 3, поэтому таких условий 9.
Итак, в нашем примере набрали 6+3+9=18 условий, что и было необходимо.

Пример.















Рис.19

Необходимо набрать: 6(n = 6 ( 6 = 36;
1) кинематические условия (Yi=0, (Zi=0, (1(l1) = (i(0):
В узле А сходятся 4 стержня - (k-1)(3=(4-1)(3=9, в узле В сходятся 2 стержня - (k-1)(3=(2-1)(3=3, в узле С сходятся 2 стержня - (k-1)(3=(2-1)(3=3. Итого 15.
2) условия равновесия (Y1=0, (Z1=0, (Ma=0:
Три узла дают по 3 условия. Итого 9.
3) опорные граничные условия:
Четыре опоры по 3 условия. Итого 12.
В результате 15+9+12=36, что и было необходимо.



Интеграл Мора

До сих пор перемещение было результатом решения дифференциального уравнения и представлялось в виде аналитических функций. Но практически использовать аппарат дифференциальных уравнений для произвольной стержневой системы довольно громоздко. Кроме того, во многих случаях не требуется находить функции перемещений, а достаточно лишь вычислить перемещения в конкретных точках конструкции по фиксированным направлениям. Именно эту задачу успешно решает метод Мора.
Пусть стержень нагружен поперечной нагрузкой (рис.20).





Рис.20

V (z) – прогибы от данного нагружения подчиняются дифференциальному уравнению (ЕJV′′)′′=q(z).
Возьмем тот же самый стержень и нагрузим его другой нагрузкой q1(z), которая подчиняется аналогичному дифференциальному уравнению:

(ЕJV1′′)′′=q1(z) (13)

Умножим обе части уравнения (13) на V(dz и проинтегрируем.

(14)

Рассмотрим правую и левую части уравнения (14) по-отдельности.




Первые два слагаемых обращаются в ноль при любых граничных условиях:



V=0, V′=0 V=0, V′′=0 V=0, V′′=0 V′′=0, V′′′=0

Раз нагрузку q1(z) мы выбрали самостоятельно, то она может быть любой. Возьмем в качестве нагрузки сосредоточенную силу P = 1, приложенную в точке с координатой z = a.


Приравниваем выражения, полученные от правой и левой части:

V (a)= (15)

Формула (15) носит название интеграла Мора. Можно указать следующий порядок определения перемещений по методу Мора:
1.Строят вспомогательную систему, которую нагружают единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Определяя линейные перемещения, в заданном направлении прикладывают единичную силу; определяя угловые перемещения – единичный момент.
2.Для каждого участка системы выписывают выражения силовых факторов в произвольном сечении заданной вспомогательной системы.
3.Вычисляют интегралы Мора (по участкам в пределах всей системы).
4.Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичной силы.
Выражение интеграла Мора мы получили для изгиба; аналогичные выражения можно получить для других видов нагружения:

для растяжения - W(a)= ; (16)
для кручения - ((а)= . (17)

Пример. Найти перемещение в точке с координатой z = 0 для стержня, изображенного на рис.21а.








а) б)
Рис.21



Решение.
В точке, в которой необходимо найти перемещение, прикладываем единичную силу (рис.21б) и составляем уравнения моментов от внешнего нагружения и единичной силы.
Мх(z)=, Mx1=1(z.
V (0)= =



Литература
1. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах под ред. В.В. Болотина. Том 1. М., Машиностроение, 1978.
2. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник под ред. А.И. Биргера и Я.Г. Пановко. Том 3, 1968.
3

2

1

Х1

Z1

Y3

Y2

Y1

Z2

Z3

(2

1

3

2

V1

V3

V2

W1

W3

W2

(3

А

Qy1

N1

M1

M2

M3

N3

N2

Qy2

Qy3

1

2

3

4

5

6

А

С

В

q(z)

l

1

q

l