метод возмущений

Итак, чем точнее мы аппроксимируем неизвестную функцию степенным рядом, тем точнее будет полученное решение. Поэтому точность всего метода зависит от величины параметра : чем меньше возмущение, тем быстрее сходится степенной ряд. Кроме того, точность напрямую зависит от числа членов разложения: чем больше слагаемых в ряде (5) мы оставим, тем лучше получится наша аппроксимация.Для исследований этих зависимостей рассмотрим уравнение:(22)И решим его методом возмущений с разложением до 6 порядка: (23)С помощью уже подробно разобранной программы в Mapleмы легко находим коэффициенты в этих разложениях:Анализ будет проводить для первого корня:Заметим, что мы автоматически получаем разложения также для всех. Теперь мы можем оценить, как влияет величина возмущения и количество членов разложения на точность решения.На рисунке 3 приведены графики зависимости решения для одного из корней уравнения (17) от возмущения (по оси абсцисс). Мы видим, как при увеличении числа членов в разложении (18) кривые становятся ближе к точному решению. При этом для каждой кривой отчетливо наблюдается увеличение ошибки с увеличением возмущения. Figure3. Сравнение решений при различных nи.ЗаключениеВ ходе выполнения курсовой работы был рассмотрен метод возмущений для решения алгебраических уравнений. Этот подход позволяет численно находить корни уравнений, коэффициенты которых близки к коэффициентам невозмущенного уравнения, решение которого можно найти аналитически. Из этого условия сразу вытекает главный минус метода – необходимо знать невозмущенное уравнение. В общем случае такой подход применить не получится. Однако, во многих приложениях мы имеем невозмущенное уравнение и наш метод показывает очень хорошие результаты. Кроме того, полезным может оказаться и выражение самой зависимости решения от возмущения. Для работы с символьными выражениями и аналитического решения уравнений был изучен математический пакет Maple, что позволило эффективно решать задачи и построить разложение до членов 6 порядка.