Дискретное преобразование Фурье

Предположим, у нас есть следующая последовательность значений сигнала:Для вычисления ДПФ этой последовательности, мы применяем формулу ДПФ:где X(k) - комплексные амплитуды гармонических компонент с частотой k, x(n) - значения дискретной последовательности данных, N - общее количество отсчетов в последовательности, i - мнимая единица, exp - функция экспоненты.Применяя эту формулу, мы будем вычислять ДПФ для каждой частотной компоненты от k = 0 до k = N-1.Для k = 0: Таким образом, X(0) равно сумме всех элементов последовательности: Для k = 1: Аналогично, проведем вычисления для остальных значений k:Для k = 2: Для k = 3: Для k = 4: Повторяя эти вычисления для всех получим следующие результаты:X(0) = 34+0iX(1) = -1.722+1.074iX(2) = 2.117-1.273iX(3) = 2.618-3.355iX(4) = -7.441+0.123iX(5) = 5.5-4.33iX(6) = 0.382-7.331iX(7) = -3.454+1.861iX(8) = -3.454-1.861iX(9) = 0.382+7.331iX(10) = 5.5+4.33iX(11) = -7.441-0.123iX(12) = 2.618+3.355iX(13) = 2.117+1.273iX(14) = -1.722-1.074iМы применили ДПФ к сигналу и вычислили значения спектральных коэффициентов X(k) для каждого значения k от 0 до 14. Результаты представлены в комплексной форме, где каждый коэффициент имеет амплитуду и фазу.Анализируя полученные результаты, мы можем сделать следующие наблюдения:Значение X(0) равно 34, что является суммой всех элементов исходного сигнала. Это соответствует постоянной составляющей сигнала.Значения X(k) для остальных значений k представляют собой комплексные числа с различными амплитудами и фазами. Они представляют гармонические компоненты сигнала с различными частотами.Результаты показывают, как сигнал разложен на различные гармонические составляющие с различными амплитудами и фазами.Амплитуды гармонических компонент (модули X(k)) отражают значимость каждой частоты в исходном сигнале. Большие амплитуды соответствуют доминирующим частотам в сигнале.Фазы гармонических компонент (аргументы X(k)) указывают на сдвиг фазы каждой компоненты относительно начала временной оси.Таким образом, ДПФ позволяет анализировать спектральные характеристики сигнала, выявлять его составляющие частоты и исследовать их амплитуды и фазы. Это имеет большое значение в областях обработки сигналов, коммуникаций, акустики, обработки изображений и других дисциплин, где требуется анализ и синтез сигналов.Список литературыРичард Лайонс. Цифровая обработка сигналов: Второе издание. Пер. с англ. – М.: ООО «Бином-Пресс», 2006 г. – 656 с.: ил.Oppenheim, A. V., & Schafer, R. W. (2010). Discrete-Time Signal Processing.