Аналитический метод имитационного моделирования.

Исследование модели и поиск оптимального плана проведем, используя возможности программы Excel.Для этого подготовим необходимые таблицы, отражающие математическую модель задачи, на листе перед расчётом (рисунок 2).Рисунок 2 – Исходные данные и взаимосвязи параметров модели на листе Excel.Ограничения и целевая функция задаются формулами:Целевая функция: =СУММПРОИЗВ(C4:E6;C13:E15)Ограниченияпо самолетам: =СУММ(C13:E13)=СУММ(C14:E14)=СУММ(C15:E15)по направлениям:=СУММПРОИЗВ(C13:C15;$J$13:$J$15)=СУММПРОИЗВ(D13:D15;$J$13:$J$15)=СУММПРОИЗВ(E13:E15;$J$13:$J$15)Для поиска оптимального решения воспользуемся инструментом Анализ данных/Поиск решения и зададим параметры поиска в соответствии с ограничениями задачи (рисунок 3).Рисунок 3 – Параметры поиска решения для рассматриваемой модели.Так как самолет нельзя разделить на части, добавляем требование целочисленности к искомым переменным. Метод решения – поиск решения линейных задач симплекс-методом.В результате применения инструмента «Поиск решения», получили оптимальный план перевозок (рисунок 4).Рисунок 4 – Оптимальный план перевозок.Таким образом, оптимальный план принял вид:На 1-м маршруте 28 самолетов второго типа;На 2-м маршруте 8 самолетов второго типа и 18 самолетов третьего типа;На 3-м маршруте 28 самолетов первого типа, 1 самолет второго типа и 7 самолетов третьего типа.Минимальные затраты на перевозку составляют 4384 д.ед.При этом остаются незадействованными в перевозке 7 самолетов первого типа и 1 самолет второго типа. Самолеты третьего типа использованы все.Для повышения эффективности эксплуатации самолетов можно уменьшить парк самолетов первого и второго типа, так как они задействованы не полностью в перевозках.Построенная модель может использоваться и при других исходных данных. Для нахождения нового опорного плана при изменившихся параметрах необходимо снова запустить «Поиск решения» с уже заложенными в него параметрами модели.3.2 Моделирование насыщения рынка автомобилейРассмотрим задачу исследования насыщения рынка легковых автомобилей.Объектом исследования является рынок автомобилей в стране. Допустим, что к моменту начала исследований в стране находилось N легковых автомобилей. В ближайшие годы планируется производить по P легковых автомобилей в год. Автомобиль в среднем служит K лет. Требуется определить максимальное количество автомобилей в стране при таком производстве и рассмотреть динамику роста количества автомобилей в стране. Это наша цель исследования.Для изучения динамики рынка автомобилей рассмотрим процесс пополнения рынка (выпуск легковых автомобилей) и процесс уменьшения количества автомобилей на рынке (ограниченный срок службы легкового автомобиля) в год. Для упрощения модели другие процессы, которые могут повлиять на динамику рынка, мы рассматривать не будем.Единственным состоянием действующих автомобилей будем считать рынок (так как производство автомобилей мы не рассматриваем). Допустим, что пополнение автомобилей на рынке происходит за счёт выпуска автомобилей, то есть результирующий поток на входе в состояние рынок будет составлять P автомобилей в год.Из условия задачи мы знаем, что средний срок службы автомобиля составляет K лет, то есть, численность автомобилей в стране будет уменьшаться за счёт выхода автомобилей из строя. Процесс выхода одного автомобиля имеет интенсивность автомобилей в год.Схема процесса пополнения рынка изображена на рисунке 5.Круг – это состояние системы, внутри круга – численность состояния в момент времени t, стрелка слева – это поток входа (пополнение рынка автомобилями), стрелка справа – поток выхода (сокращение рынка за счет износа автомобилей в момент времени t).Рисунок 5 – Схема процесса пополнения автомобильного рынка в стране.Опишем свойства среды.Мы имеем дело с процессом накопления, пополнение происходит за счёт производства автомобилей и характеризуется производственными мощностями автомобильной промышленности: P автомобилей в единицу времениt.Пусть tравно одному году.Интенсивность процесса выхода автомобиля из строя:Сформулируем математическую модель, учитывая, что наиболее подходящий тип – динамическая модель.Рассмотрим изменение численности автомобилей на рынке за промежуток времени .Уравнение баланса численности автомобилей на рынке за промежуток времени :Перейдя к пределу при , получим дифференциальное уравнение, описывающее баланс численности автомобилей:Решение этого уравнения даст функцию ежегодной численности автомобилей на рынке.Для полного задания дифференциальной задачи надо задать начальные условия:а) начальное значение переменной t и функции y(t);б) значения коэффициентов P, K, N, где P – количество автомобилей, производимых в стране (поток, пополняющий рынок автомобилей);N–количество автомобилей на рынке страны к моменту исследований;K–срок службы автомобиля;в) период времени изучения рынка автомобилейЗададим следующие начальные параметры модели:Математическая модель составлена. Решим задачу Коши, используя численный метод (явный метод Эйлера). Для этого метода требуется построить расчетную сетку и составить конечно-разностное уравнение явного метода Эйлера для решения дифференциального уравнениязадачи.Расчетная сетка:Конечно-разностное уравнение:Решением дифференциального уравнения будет функция , отображающая динамику насыщения рынка автомобилей в течение 100 лет.Реализуем модель средствами среды Mathcad, в этой среде имеются средства решения дифференциальных уравнений численными методами.Вычислительный алгоритм решения задачи представлен на рисунках 6-8.Рисунок 6 – Реализация модели насыщения рынка автомобилями в среде Mathcad.Рисунок 7 – Динамика рынка автомобилей.По построенной модели можно сделать вывод, что значительный рост автомобилей на рынке происходит в течение первых 40 лет, затем рынок стабилизируется, численность автомобилей достигает максимального значения и остается на этом уровне.Рисунок 8 – Прирост автомобилей на рынке.Таким образом, простейшая математическая модель рынка автомобилей позволила проследить динамику рынка автомобилей, оценить максимальное количество автомобилей на рынке, определить момент стабилизации рынка.Расширим построенную модель, добавив расчет показателей доходности автомобилей с учетом инфляции.Пусть Inf – темп инфляции, инфляция возрастает каждый момент времени t на 0,005.Pr – цена автомобиля с учетом влияния инфляции.Тогда:Выручка от продажи: Относительное изменение цены автомобиля:Относительный доход от продаж:Задаем начальные условия и расчетные формулы и получаем динамику изменения цены автомобиля и другие показатели доходности (рисунки 9-12).Рисунок 9 – Цена автомобиля с учетом ежегодной инфляции.Рисунок 10 – Выручка от продажи с учетом ежегодной инфляции.Рисунок 11 – Относительное изменение цены автомобиля с учетом ежегодной инфляции.Рисунок 12 – Относительная доходность с учетом ежегодной инфляции.Анализируя полученные результаты, делаем вывод, что максимальная доходность от размещения на рынке автомобилей наблюдается на 11-й год. При этом выпуск автомобилей достиг 309936 шт. по цене 2046 денежных единицы за автомобиль. Рынок на этот момент ещё не насытился (72,1% от максимума). Рисунок 13 – Результат моделирования насыщения рынка автомобилей.3.3 Моделирование систем массового обслуживанияРассмотрим следующую ситуацию.Магазин продовольственных товаров имеетдве кассы и работает с 10 до 19 часов. Покупатели приходят в магазин со случайным интервалом между приходами, среднее время ожидания нового покупателя – 10 минут, обслуживание покупателя занимает от 3 до 7 минут. Средняя сумма покупки – 400 руб., среднеквадратическое отклонение – 100 руб. Требуется определить, каково будет среднее время ожидания и средняя выручка магазина, если предполагается приход 10-ти покупателей? Составим математическую модель задачи. Ситуацию можно представить, как систему массового обслуживания. Допустим, что время между покупателями распределено по показательному закону со средним значением в 10 минут, а сумма покупки распределяется по нормальному закону.Так как мы имеем две кассы в магазине, то нам подходит модель двухканальной СМО (рисунок 14).Рисунок 14 – Двухканальная система массового обслуживания.В этой системе мы имеем T0=10:00 (время начала обслуживания).Время между приходами покупателей (время поступления новой заявки) распределено по показательному закону со средним значением tz=10 минут, то есть время поступления очередной заявки равно сумме времени прибытияпредыдущей и случайной величины, распределенной по показательному закону со средним значением tz=10.Время обслуживания toраспределено равномерно на интервале от a=3 до b=7 минут.Предполагаем, что новыйпокупательидёт к тойкассе, которая раньше освободится (а при одновременном освобождении покупатель проходит на первую кассу). Для каждой кассы выполняется расчет времени начала и окончания обслуживания. Решение о том, на какойкассе будет происходить обслуживание, принимается на основе данныхо времени освобождения каждой из них. Время начала обслуживания первогопокупателя равно времени его прихода, начиная со второго покупателя время начала обслуживания покупателя будет определяться как максимальное значение из моментов окончания обслуживания предыдущих покупателей на найденной кассе и времени прихода следующего покупателя.Время окончания обслуживания на каждой кассе рассчитывается как сумма времени начала обслуживания и времени обслуживания покупателя.Период ожидания обслуживания равен разности времени начала обслуживания и времени прихода покупателя для каждой кассы.Сумма покупки каждого покупателя рассчитывается как случайное число, исходя из нормального закона распределения с параметрами MD=400 и SD=100.Построим модель двухканальной СМО средствами программы Excel.На листе Excelзададим исходные данные и известные для двухканальной СМО функциональные зависимости (рисунок 15).Рисунок 15 – Реализация модели работы магазина как двухканальной СМО.Так как время по условию в минутах, то для расчета времени прихода покупателя от времени начала обслуживания необходимо переводить полученное по показательному распределению число минут в минуты, для этого делимполученное случайное число на 1440 (столько минут в сутках).Тогда наша модель имеет следующие формулы:– для вычисления прихода покупателя и времени обслуживания:С8: = C7+(-$E$2*LN(СЛЧИС())/1440)D8: = СЛУЧМЕЖДУ($K$2;$K$3)/1440– для вычисления начала обслуживанияЕ8: = ЕСЛИ(МАКС(F$7:F7)<=МАКС(H$7:H7);МАКС(F$7:F7;C8);"")G8: =ЕСЛИ(МАКС(F$7:F7)>МАКС(H$7:H7);МАКС(H$7:H7;C8);"") – для вычисления конца обслуживанияF8: =ЕСЛИ(ЕТЕКСТ(E8);"";E8+D8) H8: =ЕСЛИ(ЕТЕКСТ(G8);"";G8+D8)– для вычисления времени ожиданияI8: =ЕСЛИ(ЕТЕКСТ(E8);G8-C8;E8-C8)– длявычисления средних значений времени ожидания и выручки магазина:E19: =СРЗНАЧ(I8:I17)E20: =СРЗНАЧ(J8:J17)Графически результаты моделирования представляются в виде диаграммы заявок (рисунок 16) и диаграммы устройства обслуживания (рисунок 17).Рисунок 16 – Диаграмма заявок.Рисунок 17 – Диаграмма устройства обслуживания.ЗаключениеВ данной курсовой работе были рассмотрены понятия моделирования, математического моделирования, виды математических моделей, их классификация.Основное внимание было уделено аналитическим моделям математического моделирования, как наиболее универсальным, поскольку аналитические модели базируются на общих функциональных зависимостях, применяющихся в разных отраслях.Среди аналитических моделей выделяются самые простые модели, явно определяемые функциональными зависимостями в общем виде, однако, это очень узкий класс моделей.Большинство аналитических моделей исследуется численными методами, и не имеет явной функциональной зависимости.Недостатками аналитических моделей является то, что они не могут быть использованы в тех случаях, когда требуется ввести в модель множество параметров, определяемых случайным образом, а также отслеживать процессы в моделируемом объекте в динамике.В этом случае используются имитационные модели, однако и они не лишены недостатков, поэтому на практике применяется симбиоз аналитических и имитационных моделей.В практической части были рассмотрены реализации аналитических моделей средствами Excelи Mathcad – модель плана перевозки аэропорта, модель динамики насыщения рынка автомобилями и модель работы магазина как двухканальной СМО с неограниченным ожиданием.Список использованной литературыВасильев К.К. Математическое моделирование систем связи: учебное пособие / К.К. Васильев, М.Н. Служивый. – 2-изд., перераб. и доп. – Ульяновск: УлГТУ, 2010. – 170 с.Емельянов А.А., Власова Е.А., Дума Р.В. Имитационное моделированиеэкономических процессов. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 368 с.Звонарев, С. В.Основы математического моделирования: учебное пособие / С. В. Звонарев. – Екатеринбург: Изд-во Урал. Ун-та, 2019.– 112 с.Мажукин В. И. Математическое моделирование в экономике: учебное пособие : [в 3 ч.] / В. И. Мажукин, О. Н. Королева ; [гл. ред. Д. И. Фельдштейн] ; Рос.акад. образования, Моск. психол.-соц. ин-т. – 3-е изд. – М.: Флинта : Моск. психолого-социальный ин-т, 2008.Мицель А.А., Грибанова Е.Б. Имитационное моделирование экономических процессов в Excel. – Томск: Изд-во ТУСУР, 2016. –115 с.[Электронный ресурс] – Режим доступа: https://knigogid.ru/books/1933703-imitacionnoe-modelirovanie-ekonomicheskih-processov-v-excel(дата обращения: 28.11.2023)Решение задачи линейного программирования в Excel. [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://baguzin.ru/wp/reshenie-zadachi-linejnogo-programmir/(дата обращения: 28.11.2023)Тян К. Л. Аналитические, статистические и имитационные модели: преимущества и недостатки // Internationalscientificreview. 2020. №LXX. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/analiticheskie-statisticheskie-i-imitatsionnye-modeli-preimuschestva-i-nedostatki (дата обращения: 28.11.2023).