Аксиоматический подход к построению математики

Но в современной науке есть аксиомы, которых не было в «Началах» Евклида. Пятый постулат Евклида, был введен им не сразу, и часть теорем в первых книгах на него не опиралась. Н.И. Лобачевский был одним из первых, кто понял, что доказать его невозможно.Аксиома параллельности Евклида гласит, что через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, не пересекающей данную прямую. А вот аксиома Лобачевского является полным ееотрицанием, утверждая, что через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести более одной прямой, не пересекающей данную. «Если из точки, не лежащей на прямой, выпустить все лучи, пересекающие эту прямую, то слева и справа эти лучи будут ограничены двумя предельными лучами, которые прямую уже не пересекут, но будут становиться к ней все ближе и ближе. Причем угол между этими предельными лучами будет строго меньше 180 градусов.»При этом говориться, что, имея две параллельные прямые, они могут сначала сближаться, а потом удаляться. Иными словами расстояние от точки на первой прямой до второй прямой будет зависеть от точки. Решение проблемы: если пятый постулат не следует из других аксиом геометрии, то и его отрицание не может противоречить другим аксиомам, и, следовательно, существует еще одна неевклидовая геометрия или геометрия Лобачевского. Это дало новый виток в развитии наук математики, физики и т.д. [7]Аксиоматика геометрии РиманаЭто еще одна можно сказать главнаягеометрическая теория, основанная на аксиомах, требования которых, в значительной части, отличаются от требований аксиом евклидовой геометрии. Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой кривизной, геометрия Лобачевского — с постоянной отрицательной, то геометрия Римана реализуется на поверхностях с постоянной положительной гауссовой кривизной, например на сферах. Переход от евклидовой геометрии к геометрии Римана сложнее, так как происходит более глубокие изменения в системеаксиом. Здесь говорится, чтопрямая являетсялинией замкнутой, поэтому вопросы расположения точек на прямой нельзя рассматриватьс помощью понятия «лежать между». Основными объектами, или элементамитрёхмерной геометрии Римана являются точки,прямые и плоскости.Прямая определяется двумя точками, плоскость – тремя, две плоскости пересекаются по прямой, но через данную точку нельзя провести к прямой ни однойпараллельной.Основные понятия геометрии Римана — этопонятия принадлежности (точки прямой, точкиплоскости), порядка (точек на прямой, прямых, проходящих через данную точку в данной плоскости, и.т. д.) и равенства (фигур). Требования аксиом, касающиеся принадлежности и порядка, полностьюсовпадают с требованиями аксиом проективнойгеометрии. Соответственно имеют место быть следующие предложения:– через каждые две точки проходит одна прямая;– каждые две плоскости пересекаются по одной прямой;– каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются (в одной точке);– точки на прямой расположены в циклическом порядке (как и прямые, лежащиев одной плоскости и проходящие через однуточку);– каждая пара точек прямой определяет наней два отрезка;– прямая, лежащая на плоскости, не делитэту плоскость (то есть если прямая a лежитв плоскости α, то любые две точки плоскости α, не лежащие на прямой a, можно соединить отрезком, не пересекая прямую a);– плоскость не делит пространство.В тоже время геометрия Римана существенно отличается от проективной тем, чторассматривает равенство фигур и измерение геометрических величин (длин, углов,площадей, объёмов), а значит, является метрической. Требования аксиомгеометрии Римана, касающиеся равенства фигур,сходны с требованиями соответствующих аксиомевклидовой геометрии. Метрические свойства плоскости Римана в основном совпадают с метрическими свойствами обыкновенной сферы, но существует значительное отличие: известно, что две прямые не могут пересекаться в двух точках. Однако, две большие окружности сферы делают это в двух диаметрально противоположных точках. Это является существенным отличием геометрии Римана от евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского[9]. ЗаключениеЛюбая научная теория в своем становлении проходит долгий путь, начиная с накопления отдельных фактов, их систематизации, выстраивания в логическую последовательность до аксиоматическогоизложения уже выстроенной теории. Задача аксиоматизации является достаточно сложной и требует досконального знания и глубокого понимания теории. Главное требование, которое предъявляется к любой научной теории, это отсутствие противоречивости.В результате работы были рассмотрены и изученыаксиоматики теории вероятности и вещественных чисел,асиоматика евклидовой геометрии, геометрии Лобачевского и Римана. Исходя из этого, цель данной работы изучить аксиоматический подход к построению математики была достигнута.Список литературы1. BeskinN.M. Aksiomaticheskijmetod // Matematikavshkole. 1993. № 3. S. 25-29; № 4. S. 48-54.2. Игошин В.И. Аксиоматический метод в обучении математике и в образовании будущих учителей математики // Известия Волгоградского государственного педагогического университета. – 2022. – №2 (175). – С. 102-111.3. Интернет ресурс: https://edu.tltsu.ru/er/book_view.php?book_id=1cee&page_id=194634. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — Изд. 10-е, испр. — М.: МЦНМО, 2019. – 564 с.5. Старова О. А. Евклидова геометрия // Математика. Все для учителя. – 2012. – № 2. – С. 42–44.6. Большая советская энциклопедия. в 30-ти т.. – 3-е изд.. – М. : Совет.энцикл., 1969 – 1986.7. интернет-ресурс: https://postnauka.org/video/846318. Старова О. А. Геометрия Лобачевского // Математика. Все для учителя. – 2012. – № 11. – С. 30–33.9. Старова О. А. Геометрия Римана // Математика. Все для учителя. – 2012. – № 12. – С. 28–30.