Применение алгоритмов оптимизации для решения производственной задачи

Это точка B– точка пересечения прямых I и II, а также весь отрезок прямой II до точки пересечения с осью ординат.Рисунок 4 – Графическое решение задачи.Определим координатыB.Решаем систему уравненийи получаем координаты точки B:Определим оптимальное значение функции:Задача имеет множество решений, удовлетворяющее равенству Таким образом, если ЗАО «ЗМК»будет выпускать 8 т «Пломбира на сливках» и 16 т «Пломбира сливочного», то получит прибыль в 80тыс. руб.2.2 Решение производственной задачи симплекс-методомНайдём решение рассмотренной выше производственной задачи симплекс-методом.Приводим математическую модель задачи к каноническому виду задачи линейного программирования, вводя дополнительные переменные.(16)Базис для этой задачи – столбцы {x3,x4,x5}. Полагая, чтосвободные переменныеравны 0, получим первый опорный план:X0 = (0,0,24,40,52)Записываем в основную таблицу задачи нулевой опорный план (таблица 3).Таблица 3 – Таблица симплекс-методаxБcБB24000x1x2x3x4x5x30241110024:1=24x40401201040:2 =20– minx50523100152:1=52F00–2–4000x3041/201–1/20x24201/2101/20x50325/200–1/21F18000020Первый опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.ведущимявляется столбец x2, так как в этом столбце наибольший коэффициент по модулю в строке F. Вычислим по строкам как частное от деления: bi / ai2 , наименьшееиз них находится во второй строке (x4).Вторая строка является ведущей,разрешающий элемент равен 2.Переменная х2 становится базисной. Следовательно, замещается переменная х4. Составим вторую симплекс таблицу: вместо переменной x4 в план 1 войдет переменная x2. Строкаx2 в плане 1 получена в результате деления всех элементов строки x4 плана 0 на разрешающий элемент 2. На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1, в остальных клетках столбца x2 плана 1 записываются нули. Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Второй опорный план является оптимальным, так как в последней строке нет отрицательных элементов.Значение целевой функции в данной точке:F= 2⋅0+4⋅20+0⋅4+0⋅0+0⋅32=80Решение нашей производственной задачи:x1=0,x2=20, F=80В индексной строке первого столбца нулевое значение, при этом имеется несколько положительных элементов. Следовательно, задача имеет множество оптимальных планов.2.3 Решение производственной задачи с использованием компьютерных технологийНа ЗАО «ЗМК»решили расширить ассортимент продукции и к мороженому «Пломбир на сливках шоколадный» и «Пломбир сливочный» добавилимороженое «Сластена» и «Мишка на полюсе», «Пломбир сливочный».Рецептура изготовления мороженого предусматривает применение восьми основных ингредиентов. В процессе изготовления также используется соответствующееоборудование для его расфасовки и упаковки.Нормы затрат указанных ресурсов на производство 1 т мороженого приведены в таблице 4.Таблица 4 – Нормы затрат ресурсовРесурсы, кг/тНорма расхода ресурса на 1 т мороженогоОбщее количество ресурсовПломбир на сливках шоколадныйСластенаМишка на полюсеПломбир сливочныйМолоко цельное100––30056800Сливки400200–20068000Молоко сухое43,273,388,351,625200Масло сливочное6455,5119,46428360Молоко сгущенное цельное20,510010010036560Сахар15591,591,582,242200Ароматизаторпищевой Ваниль0,2–0,10,8360Какао-порошок20–20–5600Производительность оборудования (машино-ч)54441440Прибыль от реализации 1 т мороженого, тыс. руб.21,554 Выпуск, т:     минимальный4040–30 максимальный––100– Кроме того, отдел продаж уже договорился о реализации 40 т «Пломбира на сливках шоколадного», 40 т «Сластены» и 30 т «Пломбира сливочного», а отдел маркетинга провел исследование и выяснил, что выпускать более 100 т «Мишки на полюсе» невыгодно – создается избыток на рынке.С учетом норм затрат и ограничений по выпуску продукции, производственный отдел должен составить план производства мороженого.Сформируем экономико-математическую модель.Пусть – планируемый выпуск соответственно «Пломбира на сливках шоколадного», «Сластены», «Пломбира сливочного», «Мишки на полюсе».По смыслу задачи эти переменные неотрицательны: Выручка от продажи такого количества продукции составит рублей.По условию выручку нужно максимизировать: .Определим ограничения и получим следующую математическую модель:(17)Решим задачу, используя электронные таблицы Excel с помощью процедуры «Поиск решения».Построим компьютерную модель решения задачи.На рабочий лист Excel вводим исходные данные, задаем расчетные формулы и ограничения (рисунок 5).Рисунок 5 – Расчетная таблица для решения производственной задачи.Ячейки B18:E18 – изменяемые.Ячейка B20 – целевая, в ней задаётся формула для вычисления целевой функции: =СУММПРОИЗВ(B12:E12;B18:E18)Ячейки F2:F10 хранят сумму потраченных на производство мороженого ресурсов, в ячейку F2 вводится формула ==СУММПРОИЗВ(B2:E2;$B$18:$E$18), которая потом копируется на остальные ячейки диапазонаF2:F10.В ячейки B15:E15 вводятся минимальные ограничения на выпуск, в ячейки B16:E16 вводятся максимальные ограничения на выпуск.Вызываем инструмент «Поиск решения», в открывшемся окне заполняем параметры поиска (рисунок 6). Рисунок 6 – Окно сервиса «Поиск решения» с заданными параметрами поиска.Запускаем поиск решения щелчком по кнопке Найти решение. Сохраняем найденное решение и щелчком по кнопке ОК возвращаемся на рабочий лист Excel. Получили оптимальный план производства мороженого (рисунок 7).Рисунок 7 – Оптимальныйпланпроизводства мороженого.Таким образом, новый производственный план состоит в производстве 40т 40 т «Пломбира на сливках шоколадного», 40 т «Сластены», 100 т «Мишки на полюсе» и 170 т «Пломбира сливочного». Прибыль от реализации продукции составит 1320 тыс. руб. или 1 320 000 руб.Если проанализировать полученный оптимальный план, то очевидно, что узкое место производства – оборудование. Оно полностью вырабатывает ресурс, а остальные ресурсы имеют остаток.ЗАКЛЮЧЕНИЕВ данной курсовой работе мы рассмотрели производственную задачу и методы её оптимизации. Под оптимизацией производственной задачи понимается поиск максимального или минимального значения целевой функции – количественного критерия эффективности.В работе были описаны 4 алгоритма решения задачи оптимизации, основанных на применении линейного программирования, и метод, основанный на компьютерных технологиях.Для тестовых примеров были построены математические модели и найден оптимальный план производства графическим, симплекс-методом и с использованием табличного процессора MicrosoftExcel и его надстройки «Поиск решения».Таким образом, в ходе проделанной работы были составлены математические модели для основной задачи и задачи с дополнительными условиями, проведены ручные расчеты для графического и симплекс-метода, проведены расчеты в MicrosoftExcelс помощью надстройки «Поиск решения».СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫГуляев, Н. О. Применение методов оптимизации в строительном производстве / Н. О. Гуляев // Актуальные теоретические и прикладные вопросы управления социально-экономическими системами : Материалы Международной научно-практической конференции, Москва, 20 декабря 2019 года. Том 4. – Москва: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования «Институт развития дополнительного профессионального образования», 2019. – С. 108-111.Калихман И. Л. Сборник задач по математическому программированию: [Для экон. специальностей вузов]. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1975. – 270 с.Канторович Л. В. Математические методы организации и планирования производства : репринтное издание / Санкт-Петерб. гос. ун-т ; [под общ.ред. И. В. Романовского]. – СПб. : изд. дом Санкт-Петерб. гос. ун-та, 2012. –68 с.Костин, В.Н. Методы оптимизации в примерах и задачах: учебное пособие / В.Н. Костин, А.Н. Калинин. – Оренбург: ОГУ, 2008 – 153 с. – [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://elib.osu.ru/bitstream/123456789/12564/1/Костин.pdf (дата обращения 02.12.2023)Математическое программирование: теория и методы : учебное пособие / Н.В. Гредасова, А. Н. Сесекин, А.Ф. Шориков, М.А. Плескунов ; Мин-во науки и высш. образования РФ. – Екатеринбург : Изд-во Урал.ун-та, 2020. – 200 с.Наранович, О. И. Решение производственной задачи с использованием компьютерных технологий / О. И. Наранович // Актуальные проблемы и пути развития энергетики, техники и технологий : Сборник трудов V Международной научно-практической конференции, Балаково, 24 апреля 2019 года. Том 1. – Балаково: Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", 2019. – С. 146-151.