Симметрические системы 3-х переменных

Конечно, для решения кубических уравнений имеются формулы, однако, эти формулы достаточно сложны и редко используются на практике.Проще воспользоваться теоремой Безу для нахождения одного корня кубического уравнения.Теорема 3 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена на равен .Доказательство.Разделим многочлен на:Получили частное и остаток . Остаток есть многочлен, степень которого меньше степени делителя, то есть, следовательно, она является нулевой. Поэтому , то есть, число. Найдём это число .Для этого пусть в равенстве положим . Теорема Безу доказана.Чаще всего используется не сама теорема Безу, а следствие из неё.Следствие.Многочленделится без остатка натогда и только тогда, когда.Следствие из теоремы Безу в практическом смысле означает, что для разложения многочленана множители достаточно угадать (или определить) какой-нибудь один кореньуравненияи разделитьна. Так можно получить разложение исходного многочлена на два множителя.ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИСамое очевидное применение симметрических многочленов и систем симметрических многочленов – это собственно решение алгебраических систем уравнений с тремя неизвестными.Большинство алгебраических систем уравнений с тремя неизвестными не будут являться симметрическими системами, однако, в некоторых случаях можно предварительной заменой свести несимметричную систему к симметричной.Например, заменой исходных переменных на такие переменные, чтобы новая система стала симметрической, либо в некоторых случаях возведением в квадрат.Пример 1Решить систему уравненийЭта система не является симметрической, но можно перейти к новым переменным, приняв, что , , . Тогда получим симметрическую систему уравнений:Мы пришли к системе, аналогичной той, что мы решили в примере 1. Решая систему из примера 1, мы получили следующее решение, из которого можно получить остальные пять решений:Переходя обратно кпеременным, получаем:Пример 2Решить систему уравненийВоспользуемся обратной теоремой Виета, поскольку в этой системе левые части уравнений уже соответствуют выражениям , то есть мы имеем:Составим кубическое уравнение:Разложим левую часть на множители, выделив из неё :Квадратный трехчлен, частное от деления, можно также разложить на множители:Значит, наше уравнение имеет три корня:или Так как наша система симметрическая, то получаем остальные пять корней перестановками:Пример 3Решить систему уравненийПреобразуем систему к симметрической системе уравнений. Для этого обозначим:Тогда перейдём к следующей системе уравнений:Составим кубическое уравнение:Разложим левую часть на множители, выделив из неё :Имеем кратный корень (три совпадающих корня): .Из этого следует, чтоИз последнего уравнения исходной системы уравнений имеем:Значит, наше уравнение имеет единственный (кратный) корень:Пример 4Решить систему уравненийПерейдём к неизвестным , при этом воспользуемся выведенными в первой главе выражениями (таблица 1).Находим решение новой системы уравнений:Составим кубическое уравнение на основе найденных значений :Это уравнение является кубом разности :Следовательно, имеем кратный корень (три совпадающих корня): .Возвращаемся к исходным неизвестным:Значит, наше уравнение имеет единственный (кратный) корень:Пример 5Решить систему уравненийВычтем из первого уравнения второе:Домножим обе части первого уравнения на 2:Выделим квадратные трёхчлены в первом уравнении:Воспользуемся формулами сокращенного умножения:Отсюда получаем, что . Тогда подставляем в первое уравнение исходной системы переменную x вместо yи z:Следовательно, имеем два решения:Несмотря на то, что исходная система уравнений является симметрической, в этом примере нам не понадобилась теория симметрических многочленов.Пример 6Решить систему уравненийПреобразуем систему:Теперь можно перейти к новым неизвестным и найдем решение новой системы:Составим кубическое уравнение на основе найденных значений :Разложим левую часть уравнения на множители:Следовательно, имеем следующие корни: .Возвращаемся к исходным неизвестным:Значит, наше уравнение имеет три корня:Пример 7Решить систему уравненийВоспользуемся выражениями из первой главы для перехода к новым неизвестным :Найдем решение новой системы:Составим кубическое уравнение на основе найденных значений :Это уравнение является кубом разности :Следовательно, имеем кратный корень: .Возвращаемся к исходным неизвестным:ЗАКЛЮЧЕНИЕВ курсовой работе мы рассмотрели понятие симметрического многочлена, в частности, многочлена от трёх переменных, а также системы уравнений, в которых левая часть каждого уравнения представляет собой симметрический многочлен или приводится к нему подстановкой.Теория симметрических многочленов применяется в различных областях науки, но чаще всего для упрощения решения систем уравнений с тремя переменными.Эта теория дает простой и изящный способ сократить вычисления, заменив исходные уравнения на их выражение через элементарные симметрические многочлены. Поскольку для многочленов от трёх переменных таких элементарных симметрических многочленов всего три, и степень этих многочленов не превышает трёх, то решение достаточно сложных на первый взгляд систем, содержащих рациональные выражения, может свестись как минимум к переходу усистеме уравнений с более низкой степенью.Как правило, решение симметрической системы уравнений сводится к решению кубического уравнения, которое имеет или один корень или три.В курсовой работе рассмотрены варианты решения симметрических и сводящихся к ним систем уравнений с тремя переменными, приведены примеры решения подобных систем, рассмотрена теоретическая основа преобразований систем уравнения для их решения через подстановки в виде элементарных симметрических многочленов.В первой главе рассматриваются теоретические основы симметрических уравнений от трёх переменных, во второй главе вводится понятие симметрической системы уравнений трёх переменных, а в третьей главе разобраны практические примеры.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВБелыйЕ. К. Симметрические уравнения: учебное пособие для учащихся средних школ / Е. К. Белый. – Петрозаводск: Издательство ПетрГУ, 2021. – 94 с. – (Математика не для ЕГЭ).Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я.Симметрия в алгебре. – 2-е изд. – М.: МЦНМО, 2002. – 240с.Деление многочлена на многочлен. Теорема Безу. Схема Горнера. – [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://foxford.ru/wiki/matematika/deleniye-mnogochlena-na-mnogochlen (дата обращения 27.12.2023)Курош А.Г.Курс высшей алгебры. – 11-е изд. – М.: Наука, 1975. – 431с.