Дискриминант многочлена третьей степени

И если решение линейных уравнений не представляет собой труда, а решение квадратных уравненийдостаточно хорошо изучено, то решение уравнений больших, чем два степеней, представляет собой сложную задачу.Уравнение вида , где – многочлен степени , –действительные числа, причем , называется алгебраическим уравнением n-й степени.Кубическое уравнение –это алгебраическое уравнение третьей степени вида:(12)Если , то уравнение называют приведенным кубическим уравнением: (13)Корень кубического уравнения превращает уравнение в верное равенство. В соответствии со следствием 1.3 из основной теоремы алгебры, любое кубическое уравнение имеет три корня с учетом кратности корней.Дискриминант кубического уравнения является дискриминантом многочлена третьей степени.При решении кубических уравнений используются различные способы нахождения корней. На практике часто решение кубических уравнений сводится к разложению их на множители. Таким образом, алгоритм решения произвольного кубического уравнения можно свести к такому: угадываем один корень (например, α). Затем делим многочлен на и решаем квадратное уравнение, полученное в частном. Сложность в том, что угадать можно только рациональный корень. Для решения уравнений, не имеющих рациональных корней существуют универсальные методы решения кубических уравнений.Чаще всего решение кубического уравнения сводится к следующим шагам: кубическое уравнение преобразуются к неполному кубическому уравнению, а затем применяются формулы Кардано:где(14)Само решение кубического уравнения в этом случае корни уравнения можно записать какРассмотрим неполное кубическое уравнение с действительными коэффициентами.В этом случае становится важным знак подкоренного выражения в формуле Кардано.Очевидно, что знак этого выражения противоположен знаку дискриминанта (11) многочлена :Следует рассмотреть три случая:а) Пусть . В этом случае подкоренное выражение в формуле Кардано имеет знак плюс, то есть под корнем оказывается положительное число, следовательно, под знаком кубичных радикалов содержатся действительные числа.Тогда уравнение имеет один действительный и два сопряженных комплексныхкорня.б) Пусть , то все корни уравнения действительны, причем среди них есть хотя бы один кратный. Уравнение будет иметь один действительный корень кратности 3 тогда и только тогда, когда результант его и его второй производной равен нулю.в) Пусть , то уравнение имеет три различных действительных корня.Рассмотренные случаи позволяют определить количество корней и их кратность для любых кубических уравнений.Теорема 3.1. Для того, чтобы все корни полинома были действительными, необходимо, чтобы .Пример 3.1Найти дискриминант многочлена и определить количество корней уравненияРешение:Найдём производную многочлена:ТогдаОтсюда получаем дискриминант:Многочлен имеет один действительный корень, кратных корней не имеет.Пример 3.2Определить, имеет ли уравнение кратные корни и их количество.Для того, чтобы определить наличие кратных корней, вычислим дискриминант уравнения.Так как дискриминант равен 0, то уравнение имеет хотя бы один кратный корень, то есть корень, кратность которого не меньше 2.Найдем результант уравнения и его второй производной: и Так как результант уравнения и его второй производной не равен нулю, то уравнение имеет один корень кратности 2.Пример 3.3Определить количество действительных корней многочлена а) б) в) г) д) а) Найдём дискриминант многочлена:Так как дискриминант отрицательный, то многочлен имеет один действительный корень.б) Найдём дискриминант многочлена:Так как дискриминант отрицательный, то многочлен имеет один действительный корень.в) Найдём дискриминант многочлена:Так как дискриминант больше нуля, то многочлен имеет три различных действительных корня.г) Найдём дискриминант многочлена:Так как дискриминант больше нуля, то многочлен имеет три различных действительных корня.д) Найдём дискриминант многочлена:Так как дискриминант равен нулю, то многочлен имеет три действительных корня и один из них имеет кратность не меньше двух.3.2. Другие приложения дискриминантаДискриминант фактически отвечает за близость корней полинома: чем ближе корни, тем он меньше и наоборот. Величина дискриминанта может быть использована и для оценки расстояния между корнями [1].Теорема 3.2.Имеет место оценкаПри помощи дискриминанта помимо оценки близости корней можно найти экстремальные значения полинома.Рассмотрим следующую задачу:Для полиномас вещественными коэффициентами,найти егоэкстремальные значения.В решении этой задачи можно использовать теорему:Теорема 3.3.Экстремальные значения полиномаявляются вещественными корнями полиномаВ этой формулировкерассматривается дискриминант от полинома по переменной,аявляется числовым параметром.Для того, чтобы определить, является ли точка экстремальным значением многочлена третьей степени, нет необходимости переходить к приведенному выше многочлену, известна следующая теорема[6]:Теорема 3.4.Для того, чтобы точка являлась экстремальной точкой многочлена , необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число m, при котором многочлен имеет кратный корень .При этом многочлен P(x) можно выразить, как Пример 3.4Найти максимум полиномаНаходим дискриминант многочлена Для того, чтобы многочлен имел кратный корень, необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю.Решая полученное уравнение, получаем, что Если выразить многочлен как произведението из можно получить следующую систему:Поскольку m уже выразили, то получаем следующие решения системы:ЗАКЛЮЧЕНИЕВ данной курсовой работы рассмотрели понятие многочлена, корни многочлена, дискриминанта и результанта многочлена и их связь, понятие алгебраического уравнения и определение количества действительных корней многочлена и их кратности при помощи дискриминанта и результата многочлена.Использование дискриминанта не всегда позволяет найти корни кубического уравнения, но позволяет определить количество действительных корней кубического уравнения. Использование дискриминанта позволяет также определить расстояние между корнями.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ1. Березин И. С. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков ; ред. Б. М. Будак, А. Д. Горбунов. – Москва : Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. – Том 2. – 620 с. // Университетская библиотека онлайн : электронная библиотечная система. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=456943(дата обращения: 16.02.2024). – Текст : электронный.– Режим доступа: по подписке.2. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. – 2-е изд. – М.: МЦНМО, 2002. – 240с.3. Гриншпон С. Я. Многочлены над областями целостности (теория и приложения) : учеб.пособие / С. Я. Гриншпон, И. Э. Гриншпон. – Томск : Издательский Дом Томского государственного университета, 2016. – 152 с.4. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. – 3-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 272 с.5. Курош А. Г. Курс высшей алгебры : учебник / А. Г. Курош. –Москва : Наука, 1968. – 431 с. // Университетская библиотека онлайн : электронная библиотечная система. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=700821(дата обращения: 16.02.2024). – Текст : электронный.– Режим доступа: по подписке.6. Мордкович А. Г. Экстремумы многочлена третьей степени./ А. Г Мордкович // Квант. – 1974. – № 11. – С. 8–11 // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». Архив номеров : сайт. – URL: https://kvant.mccme.ru/1974/11/ekstremumy_mnogochlena_tretej.htm(дата обращения: 04.03.2024). – Текст : электронный.7. Тихомиров В. Теоремы существования и основная теорема алгебры / В. Тихомиров // Квант. – 2005. – № 4. – С. 2–6 // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». Архив номеров : сайт. – URL: https://kvant.mccme.ru/pdf/2005-04.pdf(дата обращения: 16.02.2024). – Текст : электронный.