Функции и их графики

Функции и их графики в жизниФункции являются фактически фундаментом математики, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится. Везде, в природе и технике, в науках, казалось бы, даже не связанных с математикой на первый взгляд, можно найти функции. Как только возникает взаимосвязь между двумя множествами объектов (даже если эти множества не содержат числа), так сразу можно говорить о функциях.Например, в экономике используются функции полезности, издержек, функции спроса, предложения и потребления, в радиотехнике – функции управления и функции отклика, в статистике – функции распределения.Показательная функция встречается и в физике (радиоактивный распад), и в химии, и в биологии (закон органического роста), и в экономике.Функции в техникеОдной из наиболее изученных и широко применяемых функций является квадратичная функция, графиком которой является парабола.По параболе движется снаряд, выпущенный из ствола артиллерийского орудия. Траекторию его движения можно определить следующей функцией (при соответствующих упрощениях):Здесь – угол к горизонту, –начальная скорость снаряда [2].Эта функция определяет параболу вершиной вверх (рисунок 13).Рисунок 13 – Траектории движения снарядовИзвестное свойство параболы –любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от параболы проходит через ее фокус – используется при конструировании телескопов, спутниковых параболических антенн (рисунок 14), прожекторов и автомобильных фар[6].Рисунок 14 – Принцип работы спутниковой антенныЕсли вращать параболу вокруг ее оси симметрии (например, параболу y = x2 вокруг оси Oy), то получается поверхность, которая называется параболоидом вращения. Форму параболоида вращения имеет поверхность жидкости, вращающейся в сосуде. Если помешать ложечкой в неполном стакане чая, а потом вынуть ложечку, томожно увидеть эту поверхность [3].При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции, в которых аргумент принимает случайное значение, задаваемое каким-нибудь законом распределения.Такие функции также являются случайными величинами. Функции в биологииМногие явления в природе можно описать с помощью функций. Известна модель Мальтуса (1798), описывающая размножение популяции со скоростью, пропорциональной ее численности. Этот закон можно представить в виде геометрической прогрессии для дискретного представления:Этот же закон выражается показательной функции и описывает рост клеточных популяций при отсутствии каких-либо ограничений:Параметр можно назвать коэффициентом роста [7].Если рассматривать развитие популяции с учетом роста численности за счет размножения и ограничение численности за счёт истощения источников питания, старения и естественной гибели, то можно определить рост популяции следующей функцией, являющейся решением логистического уравнения, выведенного Пьером Франсуа Ферхюльстом в 1838 году:Здесь N – это максимальная численность популяции[7]..На рисунках15-16 приведены закон размножения популяции и логистическая модель роста популяции.Рисунок 15 – Рост популяции по закону размножения популяции при k=0.2Рисунок 16 – Рост популяции по логистической модели при k=0.2, N=1000Функции в экономикеФункции, описывающие экономические процессы, называются производственными. Например, функция Кобба-Дугласа, которая описывает зависимость объема производства от труда и капитала:где – показатель объема производства, характеризующий реальную стоимость товаров и услуг, произведенных в определенный период времени; – общий показатель технологической продуктивности факторов; – затраты вложенного капитала в производство определенного объема продукции; – затраты труда в производство определенного объема продукции; – коэффициент технологической эластичности капитала; – коэффициент технологической эластичности труда.Нетрудно заметить, что функция является произведением двух показательных функций. В хозяйственной деятельности используются и другие производственные функции, позволяющие прогнозировать результаты деятельности. Например, можно рассчитать живую массу телятдо одного года в кг(y) при помощиследующей функции:где – потребление полностью усвояемого питательного вещества, кг. Эта функция также относится к производственным, так как вычисляет результат хозяйственной деятельности сельскохозяйственного предприятия.ЗаключениеПонятие функции является фундаментальным понятием математики. Это понятие возникало постепенно в процессе развития математики и получило современное определение по историческим меркам совсем недавно. Понятие функции является достаточно общим понятием, под функцией можно понимать не только числовые функции, имеющие в качестве области определения и области значения числовые множества, но и соответствия между нечисловыми множествами.Функции можно задавать разными способами, но наиболее удобным является сочетание аналитического и графического задания функции.Можно сделать следующие выводы:1. Математические функции – одно из основных понятий в разных областях науки и техники.2. Функции широко используются при описании процессов и явлений реального мира.3. Развитие многих областей науки и техники невозможно без понятия функции.4. Функциональные зависимости присутствуют во всех сферах жизни человека.Цель работы достигнута и выдвинутая гипотеза о том, что функции – неотъемлемая часть нашей жизни, они окружают нас повсюду - нашла свое подтверждение. Функции и их графики широко распространены в нашей жизни, так как графики могут наглядно отобразить процессы и явления, а аналитическая формула функции позволяет исследовать процессы и явления при помощи математических методов.Список использованной литературы:1. Виленкин Н.Я. Математика:. – 2-е изд., испр. – М.: Просвещение, 1985. – 192 с.2. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклас. чтения IX-Xкл. – 2-е изд., испр. – М.: Просвещение, 1985. – 192 с.3. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Шноль Э.Э. Функции и графики (основные приемы). – 7-е изд., стереотипное. – М.: МЦНМО, 2006. – 120 с.4. Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа. – М.: Наука, 1970. – 160 с.5. Канин Е. С. Из истории возникновения и развития понятия функции // Потенциал. 2006. № 9. C. 1518.6. Особенности приема спутникового сигнала. Часть первая, геометрическая. – [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://www.netup.ru/ru/blog/iptv/sat-reception-geometry (дата обращения 06.03.2024)7. Пеккер Я.С., Бразовский К.С. Математическое моделирование поливариантых живых систем. Учебное пособие. – Томск: Изд. СибГМУ, 2019. – 146 с.– [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://portal.tpu.ru/SHARED/m/MBC/academics/Tab2/Lifesystem.pdf (дата обращения 06.03.2024)8. Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. Использование преобразований графиков функций при решении уравнений и неравенств, содержащих модуль (часть II): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова. – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 66 с.