Вездесущий логарифм

Закон распределения Бенфорда. По горизонтали представлены цифры, по вертикали – соответствующие вероятности.Закон Бенфорда оказывается применим ко многочисленным величинам с экспоненциальным ростом, то есть таких, которые растут пропорционально настоящему значению. Так, в частности, такими величинами выступают платежные счета за электроэнергию, остатки товаров на товарных складах, стоимости акций, численность населения территорий и так далее.Важнейший закон математической статистики – закон Хинчина-Колмогорова описывает математическую модель случайных (стохастических) блужданий и устанавливает логарифмический характер таких блужданий.2.7. МузыкаУдивительное приложение логарифмы находят в музыке. Для гармоничного звучания мелодии, и соответственно гармоничного восприятия мелодии человеческим ухом необходимо деление октавы на некоторое приближение для числа:При этом приближенно такое значение логарифма представляется как рациональная дробь , что соответствует классическому разбиению октавы на двенадцать полутонов.Имеющиеся полутона для классической октавы представляют собой в приближении геометрическую прогрессию, знаменатель которой приближенно составляет:Таким образом, логарифм в музыке способствует более гармоничному звучанию исполняемой мелодии.2.8. Природные явленияМногие природные явления описываются по модели логарифмической (или как ее еще называют изогональной) спирали. Такая спираль представляет собой прямую, для которой касательная, проведенная к каждой точке кривой, перпендикулярно проведенному радиус-вектору.Примеры логарифмических спиралей представлены на рисунке:Раковина головоногих моллюсков наутилусов или корабликовСемена подсолнуха располагаются по логарифмической спиралиЦветная капуста романеско представляет собой изогональную спираль2.9. ФизикаИспользование логарифмов в физике является достаточно широким, логарифм входит во многие физические формулы, поскольку успешно описывает многие физические явления. Так, например, интенсивность звука может быть рассчитана по формуле:где интенсивность звука.Логарифмы успешно применены Больцманов в формулировании основного термодинамического принципа, поскольку термодинамическая система это хаотичная система, логарифм успешно описывает степень хаотичности для данной модели структурно. Формула Больцмана и Планка имеют вид:где постоянная Больцмана; статистический вес некоторого состояния; некоторое термодинамическое исследуемое свойство.Константин Эдуардович Циолковский, создатель первой космической ракеты, установил, что для ее работы также необходимым является исследование логарифмической связи, что показывает знаменитая формула Циолковского:где это конечная достигаемая скорость космической ракета, называемая также характеристическая скорость ракеты;это удельный импульс двигателя данной ракеты (то есть отношение силы тяги ракетного двигателя к расходу топлива, выражаемого массой топлива в секунду); начальная масса ракеты, состоящая из полезной нагрузки, конструкционных деталей ракеты, а также массы топлива ракеты; конечная масса ракеты, состоящая из полезной нагрузки ракеты и конструкционных деталей летательного аппарата.2.10. ХимияВ химической науке важнейшее применение логарифмов заключается в численном выражении водородного pHпоказателя некоторого раствора. pHпоказатель отражает меру активности водородных ионов в некотором исследуемом растворе и вычисляется как десятичный логарифм, взятый со знаком минус, от концентрации ионов водорода, выраженных в молях на литр:Также важнейшее применение логарифмов в химии – это уравнение Нернста для окислительно-восстановительных реакций:где потенциал электрода в вольтах;стандартный электродный потенциал в вольтах; универсальная газовая постоянная:абсолютная температура в Кельвинах;постоянная Фарадея: количество участвующих в реакции элетронов; активность участников полуреакции; их стехиометрические коэффициенты (положительны для продуктов полуреакции (окисленной формы), отрицательны для реагентов (восстановленной формы)).2.11. Другие приложенияЛогарифмы используются во многих иных жизненных задачах. Так, например, для того чтобы спроектировать ход олимпийских соревнований по бегу, количество кругов по олимпийской трассе высчитывают как двоичный логарифм от количества спортсменов, принимающих участие в соревнованиях с округлением до ближайшего целого числа.Иные приложения логарифмов часто встречаются в технике и производстве. Так, например, для создания часто используемых в технике вращающихся режущих предметов-ножей требуется, чтобы угол для резки имел фиксированное постоянное значение, а это можно достичь, лишь создав заточку по описанной выше логарифмической спирали. Благодаря такой форме резательных устройств соблюдается высокая эффективность процесса производства. То же касается многочисленных устройств трубопровода. Если система трубопровода проектируется при помощи логарифмической спирали, то потеря механической энергии на изменение угла направления водных потоков будет минимизирована, а вместе с тем и вновь будет повышена эффективность технического процесса. ЗаключениеВ данной работе была рассмотрена тема «История развития логарифмов», посвященная, прежде всего, изучению основных этапов развития логарифмов в математической науке и обоснование их полезной применимости для решения задач математики и жизни в целом.В процессе данной работы удалось выявить основные этапы развития логарифмов, а также проследить, каким образом в историческом процессе в математической науке возникала потребность во введении и изучения логарифмов, а также с какими конкретными задачами это было связано. Также было выявлено применение логарифмов и при решении современных математических задач. Таким образом, была доказана высокая актуальность данной рассматриваемой темы на современном историческом этапе развития математической науке, поскольку логарифмы представляют собой математический объект, наиболее полно описывающий окружающую действительность и помогающий в решении зачастую очень трудных, поставленных жизнью задач.Выводы:Логарифмы – важные составляющие не только математики, но и всего окружающего мира, поэтому интерес к ним не ослабевает с годами и их необходимо продолжать изучать.Логарифм представляет собой некоторое число, использование которого призвано упростить многочисленные сложные арифметические операции. В этом состоит первое и важнейшее преимущество логарифмов. Так, например, операция умножения многозначных чисел при помощи логарифмов успешно упрощается до операции суммирования; операция деления заменяется вычитанием.Логарифм имеет множество других очень важных свойств, способствующих упрощению вычислительных процессов. Так, например, во-первых, относительно логарифмической функции следует отметить ее медленный характер роста (натуральный логарифм от 5 ≈ 0,7; от 5000 ≈ 3,7; от 5 000 000 ≈ 6,7). Во-вторых же, монотонность роста [если a > b, то log(a) > log(b)]. В-третьих же, равносильность логарифма от произведения и суммы логарифмов [log(a*b) = log(a)+log(b)]. Все это значительно упрощает математические вычисления. В частности, если мы хотим, например, перемножить два больших многозначных числа между собой, то становится удобным заменить сложение умножением. Помимо абстрактных математических понятий, логарифмы успешно применяются в жизни при описании повседневных явлений. Например, способ восприятия человеческим организмом слуховых ощущений зачастую происходит «по логарифмической шкале», чем обосновано большое различие между различными амплитудами звуковых частот по логарифмическому закону, а не прямо пропорциональному (поэтому мы гораздо лучше слышим разницу между двумя звуками, более тихими чем два громких). В связи с этим уровни воспринимаемой ухом человека громкости (измеряемые в дБ) принято считать логарифмического характера. И в целом большое количество предметов, явлений и процессов, в экономической, медицинской и иных областях можно описать с помощью законов экспоненциального роста (powerlaws). Например, самое частое встречающееся слово в большом объеме текстовой информации встречается, говоря с округлением, приблизительно в два раза чаще, чем второе по частоте, а оно в свою очередь в два раза чаще, чем третье по частоте, и т.д. (согласно закону Ципфа). Подобный закон встречается зачастую в природных катаклизмах, таких как землетрясение, цунами и т.д. Логарифмы для описания таких процессов наиболее полно и наглядно отражают суть данных процессов.При помощи справочных таблиц логарифмов возможно проводить многие сложнейшие операции достаточно быстро.Список использованных источниковУспенский Я. В. Очерк истории логарифмов. Петроград, 1923. −78 с.Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)Том 2 Математика XVII столетия. (1970)Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: Наука, 1960.Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» Москва, 2008Штейн Е.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва, 2004М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 2009Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». – М.: Наука, 2006Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». – М.: Наука, 2005