Демографическая модель

При выборе полиномов разных степеней коэффициент детерминации после 2-й степени многочлена становится выше 0,9. Подставив числовые значения в уравнение (1), проводим расчет. Коэффициент детерминации модели линейного тренда равен 0,43 (табл. 1).Таблица 1 – Значения коэффициентов детерминацииСтепень полинома20,7330,9240,9850,99Следовательно, полиномы третьего, четвертого и пятого порядка лучше аппроксимируют исходные данные.Анализируемый временной ряд лучше всего описывается полиномиальной трендовой моделью.Таблица 2 – Форма полиномиальной линии трендаПолином 3-ей степениy = 69,82x3 - 5 725,17x2 + 143 975,61x + 3 736 754,88Полином 4-ей степениy = 3,61x4 - 254,65x3 + 3 733,53x2 + 46 864,95x + 3 977 274,12Полином 5-ей степениy = -0,08x5 + 12,22x4 - 601,21x3 + 9 684,98x2 + 6 826,31x + 4 046 792,122.3 Дисперсия остатковДругим критерием адекватности модели является среднее значение остатков и дисперсия остатков.Обычно считается, что чем ниже среднее значение и вариация остатков, тем выше качество модели (табл. 3). = (2)где – квадрат остатков, – число наблюдений.Среднее остатков[3] = (3)где – остатки, – число наблюдений.Подставив данные в уравнение (3), получим (табл. 3):Таблица 3 – Среднее значение и вариация остатковСреднее остатковПолином степениЗначение30,0593786040,0270059786450,1122873959При подстановке данных в формулу (2) получаем значения (табл. 4):Таблица 4 – Дисперсии остатковДисперсия остатковСтепень полиномаЗначение30,0051441852482435140,0011069041365032250,03307369399361800Таким образом, подобранные модели удачно и точно описывают данные статистического анализа по демографии, так как значения находятся около нуля, значения среднего и дисперсии остатков также близки к нулю.2.4 Критерий Акаике и критерий ШварцаДля выбора наиболее простой модели, но с высокой точностью аппроксимации, мы используем критерии Акаике (AIC) и Шварца (SC) [3].Информационный критерий является мерой качества модели, учитывающей степень аппроксимации модели и ее простоту. Принято считать, что модель наилучшего качества – это модель с более низким стандартным значением [3].Рассмотрим два информационных критерия. Они широко используются при анализе временных рядов.Критерий Акаике (AIC) AIC = + (4)где - число наблюдений, – квадрат остатков, - число степеней свободы.Особенности критерия:«Штрафование» числа параметров ограничивает рост сложности модели;Может сравнивать модели только одинаковыми выборками.Критерий Шварца (SC)SC = + (5)где - число наблюдений, – квадрат остатков, - число степеней свободы.Байесовский информационный критерий (критерий Шварца - SC) используется для выбора моделей из класса параметрических моделей, которые полагаются на переменное количество параметров. Основное отличие от критерия Акаике состоит в том, что этот критерий налагает штраф за увеличение количества параметров, поскольку n больше 2 даже при 8 наблюдениях.Стандартные функции:Критерий Шварца представляет собой возрастающую функцию количества медиан модели и суммы квадратов невязок ошибок модели;Используется для длинных выборок данных.Расчет по формулам (4) и (5) дает следующие результаты (табл. 5):Критерий АкаикеAICПолином 3-й степени2,30Полином 4-й степени2,23Полином 5-й степени2,26Критерий ШварцаSCПолином 3-й степени4,0493Полином 4-й степени3,930567Полином 5-й степени3,921467Таблица 5 - Значение критериев АкаикеВывод: Этот полином имеет 5-ю степень по критерию Шварца и 4-ю степень по критерию Акаике. Для анализа лучше использовать более простую модель, поэтому мы выберем полином 4-й степени и, следовательно, построим на его основе другие значения.2.4 Проверка точности оценкой MAPEДля определения точности аппроксимации временных рядов был выбран наиболее популярный оценщик MAPE [8].Индикатор MAPE показывает размер ошибки по сравнению с рядом значений.Обычно считается, что, когда показание меньше 10%, точность выше; если показание больше 10% и меньше 20%, точность может достигать 50%, что является удовлетворительным.MAPE = ⋅ 100% (6)где – фактическое значение временного ряда,– прогнозное значение временного ряда, – количество наблюдений.Расчеты выбранной модели показывают следующие результаты для оценки точности аппроксимации общей численности городского населения. Подставив числовые значения в уравнение (6), получим:MAPE = 0,005611237 или MAPE = 0,5611237%Вывод: Точность построенной модели очень высокая.ГЛАВА 3. ВЫБОР МОДЕЛИ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯПроверка модели на реальных данныхВ зависимости от выбранного полинома и знания его коэффициентов можно построить больше значений. Расчет производится путем подстановки нужных значений, при этом даты, для которых необходимо произвести расчеты, используются в переменных с заранее рассчитанными коэффициентами выбранного полинома.Учитывая, что временные ряды состоят из данных, слабо зависящих друг от друга, довольно сложно делать долгосрочные точные прогнозы, чтобы минимизировать ошибку отклонения полученных значений от реальных данных; сделаем краткосрочные прогнозы на весь год.Выходным результатом является значение с 2022 по 2023 год (табл. 6).Таблица 6 – Полученные и фактические значения численностиГодЧисленностьПолученные значенияФактические значения20225 244 8705 131 90020235 410 2155 191 70020245 604 4165 225 700Теперь воспользуемся уравнением (6) для определения точности полученных значенийMAPE = 0,045525 или MAPE = 4,5525%Вывод: Значение точности, рассчитанное по полученным данным, составляет менее 10%, а это означает, что точность достаточно высокая и поэтому на основе этой модели можно делать прогнозы.3.1 Прогноз на 2024 годТеперь, изучив достаточно точную модель прогнозирования, построим прогноз на 2024 год по модели y = 69,82х3 – 5725,17х2 + 143975,61х + 3736754,88.Согласно выбранной для построения прогнозной модели, население города в январе 2024 года составит 5 829 974 человека.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫАбдюшева, С. Р. Построение многомерной регрессионной модели для анализа демографических показателей / С. Р. Абдюшева, Л. Р. Гилязова, М. А. Абрамчук // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании : Тезисы докладов XI Международной школы-конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, Уфа, 11–14 ноября 2020 года / Отв. редакторы Е.Г. Екомасов, Л.А. Габдрахманова. – Уфа: Общество с ограниченной ответственностью "Аэтерна", 2020. – С. 45-46.Акаев, А. А. Математическая модель для прогнозирования глобальной демографической динамики в эпоху использования интеллектуальных машин / А. А. Акаев, В. А. Садовничий // Вестник Российской академии наук. – 2022. – Т. 92, № 9. – С. 877-884. Безруков, Н. С. Способ построения модели кластеризации данных на примере демографических показателей регионов ДФО / Н. С. Безруков, Е. В. Полянская // Информатика и системы управления. – 2021. – № 4(70). – С. 3-12.Козлова, О. А. Модели динамики демографических показателей в условиях адаптации населения к изменениям социально-экономической среды / О. А. Козлова, М. Н. Макарова, О. О. Секицки-Павленко // Экономические и социальные перемены: факты, тенденции, прогноз. – 2021. – Т. 14, № 4. – С. 48-58.Богачева, М. Н. Использование эконометрических моделей при моделировании демографических показателей / М. Н. Богачева // Актуальные вопросы и инновационные технологии в развитии географических наук : сборник трудов Всероссийской научной конференции, Ростов-на-Дону, 31 января – 01 2020 года / Министерство науки и высшего образования Российской Федерации; Южный федеральный университет, Институт наук о Земле. – Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 2020. – С. 583-586.Клоков, В. И. Демографическая модель с учетом ограниченности ресурсов / В. И. Клоков // Государство И бизнес. Современные проблемы ЭКОНОМИКИ : материалы IX Международной научно-практической конференции, Санкт-Петербург, 19–21 апреля 2017 года / Северо-Западный институт управления РАНХиГС при Президенте РФ. Том 2. – Санкт-Петербург: Информационный издательский учебно-научный центр "Стратегия будущего", 2017. – С. 41-54.Макарова, И. И. Виды демографических моделей / И. И. Макарова // Управление социально-экономическими системами : Сборник статей Всероссийской научно-практической конференции, Пенза, 27–28 июня 2019 года / Под редакцией И.А. Мурзиной, В.Н. Ретинской. – Пенза: Автономная некоммерческая научно-образовательная организация «Приволжский Дом знаний», 2019. – С. 66-69.Модель демографического прироста населения региона / В. А. Ильичев, В. И. Колчунов, В. А. Гордон [и др.] // Биосферная совместимость: человек, регион, технологии. – 2021. – № 3(35). – С. 3-13.Палей, А. Г. Модель для анализа демографического состояния региона / А. Г. Палей, Г. А. Поллак // Международный научно-исследовательский журнал. – 2017. – № 4-3(58). – С. 108-111.Разработка математической модели прогнозирования демографических показателей региона / И. Р. Шулунова, С. С. Михайлова, Е. С. Будаев [и др.] // Экономика и предпринимательство. – 2020. – № 11(124). – С. 554-561.