Квадратичные формы и их применение

В частности, принявk=1, получим векторе1=(1,1,1).б) Если λ=-4, то получим систему уравнений:Которую вновь подвергнем элементарным преобразованиям:Выпишем получившуюся упрощенную систему уравнений:Принявх3=k, где k≠0 (отличное от нуля число), получим множество собственных векторов вида (k, -2k, k). Принявk=1, получим векторе2=(1, -2, 1).в) Еслиλ=4, тополучим и будем пробразовывать следующую систему уравнений:В этой системепервое уравнение эквивалентно последнему,а значит матрицу можно записать без одного из этих уравнений:Отсюда будет следовать, чтоПринявх3=k, где k≠0, отличное от нуля число, получим множество собственных векторов, имеющих вид (-k, 0, k). Например, приk=1, получиме3=(-1,0,1). Итак, нами были получено собственные векторы вида:е1=(1,1,1), е2=(1,-2,1), е3=(-1, 0, 1). Нетрудно убедиться в том, что любые два из них попарно ортогональны. Получим нормы векторов, запишем получившийся ортонормированный базис:Ортогональная матрица при этом примет следующий вид:Q=Путем транспонирования матрицы Q, придем к матрице:=Рассуждая далее, поскольку то становится возможным записать ортогональное преобразование для переменных: (*)Ответ. Данная квадратичная форма будет иметь канонический вид в базисе из полученных собственных векторов и может быть получена при помощи преобразования координат в виде (*).Задача 6Пусть дана квадратичная форма, заданная уравнением. Необходимо найти эквивалентную ей квадратичную форму L(y1,y2), при помощи использования линейного преобразования для переменных х1=у1-2у2, х2=у1+у2.РешениеСогласно условию, матрица для данной квадратичной формы имеет вид:А=Запишем в матричной форме линейное преобразование, данное в условии в системе уравнений:.Таким образом, матрица перехода:С=Используя формулу перехода, получим:Ответ. Квадратичная форма, эквивалентная даннойв условии, имеет следующий вид: Задача 7Построить в прямоугольной декартовой системе координат фигуру, которую задает на плоскости следующее уравнение:.приведя предварительно данное уравнение к каноническому виду. РешениеВ заданном выражении необходимо сначала выявить уравнение квадратичной формы. Его образуют первые слагаемые из данного уравнения, то есть:.Составим матрицу для квадратичной формы, которая будет иметь следующий вид:Приведем далее полученное ранее уравнение квадратичной формы к каноническому виду. Для этого используем ортогональное преобразование. Характеристическое уравнение при этом будет иметь вид:.Корни данного характеристического уравнения: . Далее находим для полученных собственных значений собственные векторы, а затем ортонормируем собственные векторы.Так, в частности, вектор, соответствующий собственному значению , будем иметь: Тогда собственный вектор для собственного числа, можно положить, в частности, равным:.Рассуждая аналогичным образом, найдем связь координат второго собственного вектора: Откуда получим, в частности,:.Ортонормируя полученные собственные векторы, получим:.Таким образом, данные векторы представляют собой в совокупности ортонормированный базис новой системы координат. При этом матрица ортогонального оператора, который переводит квадратичную форму к каноническому виду , выглядит следующим образом:Эта матрица и будет являться матрицей перехода от старых координат к новым, что в форме матричного уравнения запишется следующим образом:.При помощи полученных уравнений и матрицы перехода получим теперь новое уравнение:Это и будет искомое каноническое уравнение эллипса в новой системе координат . При этом отметим, что новая система координат является производной из старой путем ее поворота на некоторый уголи с одновременным изменением координат точки начала координат в точку с координатами. Ответ: ЗаключениеВ данной курсовой работе мы рассмотрели основные понятия и свойства квадратичных форм, а также продемонстрировали их широкое применение в различных областях математики и её приложений.Мы убедились, что квадратичные формы являются мощным инструментом, позволяющим решать задачи в теори оптимизации, линейной алгебре, теorii чисел, физике и других областях. Их изучение позволяет глубже понять структуру и свойства векторных пространств, анализировать геометрические объекты, моделировать физические системы.Дальнейшее изучение квадратичных форм может происходить в следующих научных направлениях:Изучение квадратичных форм над кольцами и полями другими, чем кольцо целых чисел.Применение квадратичных форм в теории вероятностей и статистике.Разработка новых методов оптимизации, основанных на квадратичных формах.Понимание свойств квадратичных форм является необходимым для решения широкого круга задач в различных областях науки и техники.Список литературыБортаковский, А.С. Линейная алгебра в примерах и задачах: Уч пос. / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. - М.: Инфра-М, 2017. - 208 c.Горлач, Б.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник / Б.А. Горлач. - СПб.: Лань, 2017. - 300 c.Гредасова Н.В. Линейная алгебра : учеб.пособие / Н.В. Гредасова, М.А. Корешникова, Н.И. Желонкина [и др.] ; Мин-во науки и высш. образования РФ.— Екатеринбург : Изд-во Урал.ун-та, 2019.— 88 сЗолотаревская, Д.И. Линейная алгебра: Краткий курс / Д.И. Золотаревская. - М.: Ленанд, 2018. - 216 c.Клетеник, Д.В. Линейная алгебра. Лекции по геометрии. Часть II: Учебное пособие / Д.В. Клетеник. - СПб.: Лань П, 2016. - 400 c.Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Ч 2. Линейная алгебра / А.И. Кострикин. - М.: МЦНМО, 2018. - 367 c.Михалев, А.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие / А.А. Михалев. - М.: Academia, 2018. - 320 c.Опойцев, В.И. Школа Опойцева: Аналитическая геометрия и линейная алгебра / В.И. Опойцев. - М.: Ленанд, 2018. - 256 c.Рыбников, К.А. История математики: Подисциплинарное изложение: Геометрия. Алгебра и теория чисел. Математический анализ. Теория вероятностей и математическая статистика. Дискретная математика / К.А. Рыбников. - М.: Ленанд, 2018. - 536 cТищенкова, Л.М. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Теория и решение задач (для бакалавров) / Л.М. Тищенкова. - М.: КноРус, 2013. - 608 c.Шевцов, Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учебное пособие / Г.С. Шевцов. - М.: Магистр, 2019. - 160 c.