Порядок Группы

Решение: отметим, что кольцо – это алгебраическая структура, в которой определены операция, обратная сложению и операция умножения, а вот поле – это множество, для элементов которого определены операции сложения, умножения и деления. Итак,кольца: целые числа, рациональные числа, вещественные числа, комплексные числа; поля: числовые функции, определённые на заданном множестве, множества рациональных чисел, множества вещественных чисел, множества комплексных чисел.№2. Докажите, что кольца Zи Q не изоморфны. Решение: 1 кольца по умножению переходит в неё же, то есть в саму себя, а именно: 1 ˃ – 1. Значит, и 1 + 1 = 2 ˃ – 2. Получим некое уравнение: 2х = 1, где корень уравнения будет равен 0,5. А это значит, что в кольце Z (кольцо целых чисел) решений нет, а вот в кольце Q (кольцо рациональных чисел) имеются решения.№3. Найти в группе циклическую подгруппу, порождённую элементом 25. Решение: Так как, 25 * 1 = 25, 25 * 2 = 20, 25 * 3 = 15, 25 * 4 =10, 25 * 5 =5, 25 * 6 = 0, то в группе циклическая подгруппа, порождённая элементом 25 будет иметь вид: H = (0, 5, 10, 15, 20, 25).№4. Докажите, что множество М = (о), которое включает в себя только один элемент, образует коммутативную группу по сложению.Решение: так как коммутативная группа является группой сложения, то есть 0 + 0 = 0. Из этого следует, что единственный элемент заданного множества М является нейтральным, или же нулевым, а значит является противоположным для себя. Ассоциативность так же очевидна: (0 + 0) + 0 = 0 + (0 + 0). Тогда стоит сделать вывод, что все три условия согласно задаче, выполнимы, а значит заданное множество М = (0) образует коммутативную группу.№5. Докажите, что множество К = (–1; 1), которое включает в себя только два элемента, образует коммутативную группу. Решение: операция умножения определена на заданном множестве К, так как 1 * 1 = 1, 1 * (–1) = –1, (–1) * (–1) = 1. Следовательно, произведение двух элементов заданного множества есть этот же элемент, то есть 1. Ассоциативность заданного множества так же очевидна. Кроме того, существует единичный элемент е = 1; –1. Таким образом, все три условия выполняются. Умножение коммутативно, поэтому и сама группа коммутативна.ЗаключениеВ курсовой работе изучены понятия «алгебраическая структура», «группы», «подстановка элементов», исследованы свойства коммутативности и ассоциативности, приведены примеры групп. В качестве примеров рассмотрено 5 классических задач по теории групп подстановок, а так же нами разработаны 5 примеров задач.Литература1. Винберг Э.Б. Курс алгебры. 2-е изд., испр. и доп-е. М.: Изд-во Факториал Пресс, 2001. 544 с.2. Курош А. Г. Теория групп. Москва. 1967 г. 648 стр.3. Супруненко Д.А. Группы подстановок. – Минск. Наука и техника. 1996. 366 стр.4. Веретенников Б.М., Белоусова В.И. Дискретная математика. Часть I. – Екатеринбург : Изд-во Уральского университета. 2014 г. 132 стр.5. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра. Учебник в 2 томах. Том 1. Москва. Гелиос АРВ. 2003. 336 стр.