Математические методы исследования в экономике-

Из определения (x) следует, что

= (C) = t[L*(I, x)] (14)

Поздним сроком (x) свершения события х є Х называется срок, позже которого не могут быть начаты работы, следующие за данным событием при условии выполнения всех работ комплекса за критическое время:

(x) = - t[L*(x, C)] (15)

Очевидно, что (C) = = (С).
Резервом времени R(x) события x є Х называется запас времени, на который может быть отсрочено наступление события по отношению к раннему сроку при условии выполнения всех работ комплекса за .
Из определений (13-15) следует, что

R(x) = (x) - (x) = - t[L*(I,x, C)] (16)

Иными словами, запас времени события равен разности продолжительностей полных путей максимальной длины во всем КР и путей, проходящих через данное событие. Из данного положения непосредственно следует свойство

R(x) >= 0, для ( x є X

Полный путь максимальной продолжительности называется критическим путем - . Из определений (13), (14) следует

= t[] = t[L*(I,C)] (17)

{} = - образуют множество временных параметров событий СМ.
Вычисляются эти параметры следующим образом. Пусть {} есть множество вершин в G(X,U), непосредственно предшествующих вершине х, т.е. таких, что <, x> є U, аналогично {} есть множество вершин G(X,U), непосредственно следующих за вершиной x, т.е. таких, что є U, тогда любой путь L(I,x) обязательно содержит хотя бы одну вершину из {}, а любой путь L(x,C) обязательно содержит хотя бы одну вершину из {}. Следовательно,
t[L*(I, x)] = {t[L*(I, )] + }
или
(x) = {()] + }
Аналогично для поздних сроков:
t[L*(x, C)] = { + t[L*(, C)]}
или
- (x) = { + - ()} = + { - ()},
откуда
(x) = {() - }
Поскольку сеть правильно заиндексирована, то для расчета временных параметров событий удобно перебирать их в порядке возрастания номеров при расчете (х) и в порядке убывания номеров при расчете (x), т. е.

(j) = {(i) + } и tn(i)=min{tn(j)-tij}

Расчет небольших сетей рекомендуется проводить прямо на графе, для чего круг, изображающий событие, делится на четыре сектора, в которые записываются результаты анализа в следующем виде:








где N(x) - номер события x.
Сроки свершения событий могут в общем случае не совпадать со сроками начала и окончания инцидентных им работ. Поэтому вводятся самостоятельные временные параметры работ.
Сроком раннего начала работы u є U называется срок, считая от момента свершения начального события, раньше которого не могут быть окончены все работы, предшествующие данной работе и:
= {t[L(I, u)]} = t[L*(I, u)]

Сроком раннего окончания работы u є U называется срок, раньше которого работа и не может быть окончена, т.е. = + . Формулируя надлежащим образом условия начала и окончания работ, вводятся понятия срока позднего начала и срока позднего окончания , математические записи которых выглядят следующим образом:

= - t[L* (u, C)] и = -

Для характеристики запасов времени, на которые может быть задержено начало работы или растянуто ее выполнение, вводятся четыре типа резервов времени работы и. Каждый тип резерва по своему связан с временными параметрами работ, предшествующих или следующих за данной.
Полный резерв времени работы и:

= - t[L((I,u,C)] = - = -

Частный резерв времени I рода (ранний резерв) работы u: = +  , где работа непосредственно следует за и.
Частный резерв времени II рода (поздний резерв) работы и: = - , где работа непосредственно предшествует u.
Независимый резерв времени работы и:

= max{ - - } = max[, 0]

Управленческий смысл резервов состоит в следующем. Использование работой и полного резерва ставит в жесткие рамки выполнение как предшествующих ей работ (они должны выполняться в свои ранние сроки), так и следующих за ней работ (они должны выполняться в свои поздние сроки). Использование частных резервов накладывает ограничение только на работы, предшествующие данной (), либо на работы, следующие за данной (). Если использован , то последующие работы могут начинаться в свои ранние сроки, а если использован , то предыдущие работы могут закончиться в свои поздние сроки. Использование не накладывает ограничений ни на предшествующие, ни на последующие работы. Однако разность ( - - ), обозначаемая , может быть и отрицательна, в этих случаях по определению полагают равным нулю.
Расчет временных параметров работ проводится по следующим рекуррентным соотношениям, справедливость которых устанавливается исходя из определений этих параметров:

= {}; = + ;

= {};

= {}; = -

Так как сеть правильно пронумерована, то перебор всех работ и = <х, у> удобно вести в порядке возрастания номеров начальных событий х, а при равных x в порядке возрастания номеров конечных событий работ у.
С управленческой точки зрения важно выделить события и работы, принадлежащие Lкр, так как именно на них следует концентрировать внимание руководства всем КР. Критерии принадлежности события x и работы и= устанавливаются утверждением:

х є Lкр <=> R(x)=0 ;
u є Lкр <=> =0 .

Доказательство этих утверждений основано на соотношениях, вытекающих из соответствующих определений:

x є Lкр : t[L*(I, x, c)] = tкр; L(I, x, c) = L(I, x) ( L(x, c);

t[L*(I, x, c)] = tp(x) + [tкр – tп(x)];

u є Lкр : t[L*(I, u, c)] = tкр; L(I, u, c) = L(I, x) ( ( L(y, c);

t[L*(I, u, c)] = [tр.н.и + tu + (tкр – tп.о.и)],

где ( означает конкатенацию цепочек работ L. Например, доказательство необходимости = 0 выглядит следующим образом:
и ( Lкр => t[L*(I, и, с)] = tкр = tр.н.и + tu + tкр – tп.о.и =>

tп.о.и – tр.о.и = = 0 .

и т.д. Полезно проследить связь между временными параметрами событий и работ сети. Пусть сначала известны векторы , х ( X, тогда векторы , ( U расчетных параметров работ находятся следующим образом:

tр.н.xy = tр(x); tр.о.xy = tр(x) + txy;

tп.о.xy = tп(y); tп.н.xy = tп(y) – txy;

= tп(y)- tр(x)- txy;

= tр(y)- tр(x)- txy;

= tп(y)- tп(x)- txy;

= max{tр(y)- tп(x) - txy; 0}.

Пусть теперь даны все временные параметры работ , тогда:
tр(x) = {tр.о.x- x}; tп(x) = {tп.н.xx+};

R(x) = {tр.о.x- x} - {tп.н.xx+}.
Расчет стоимостных параметров КР – Cкр сводится к расчету общей стоимости всех работ комплекса по выражению (она же является и критической стоимостью КР)

Скр =

а также к расчету стоимости работ, выполнение которых необходимо для свершения каждого события , x ( X для начала каждой работы , u ( U. Кроме того, может представлять интерес величина стоимости работ, следующих за данным событием x - или за данной работой и - . Между введенными стоимостными параметрами работ и событий существует простая связь:

= и = , для всех x, y ( X и ( U.


Рис. 9. Иллюстрация связи временных параметров событий и работ.

Очевидно, что + <= Cкр и
+ + <= Cкр

Введенные стоимостные параметры подсчитываются суммированием стоимостей работ, входящих в соответствующие множества и , а также и , где - множества всех предшествующих (последующих) работ по отношению к данному событию x или работе . Аналогично, , а также , есть множества событий, предшествующих (последующих) по отношению к данному событию х или работе .
Данные множества могут быть построены по рекуррентным соотношениям, начиная с событий I или С СМ. Например,
= [ - U ], полагая, что = (

Практически эти множества удобно строить в специальной таблице вида: «строки-работы», «столбцы-события». В каждой, клетке таблицы пишется значение индекса принадлежности работы = u множеству : «1», если данная работа входит в соответствующее множество или «О», если не входит. Достаточно построить одну табл.5 с двумя подполями в каждой клетке, например, левое подполе отводится для , правое для ;
Столбцы таблицы заполняются последовательно, слева направо, осуществлением операции логического сложения двоичных векторов-столбцов событий, непосредственно предшествующих данному.


Литература

Власов С.Н, Годович Г.М., Черпаков БИ. Устройство, наладка и обслуживание металлообрабатывающих станков и автоматических линий. М.: Машиностроение, 1983.
Исследование операций в экономике. Под редакцией Н.Ш.Кремера. М.: Юнити, 2006 г.
Казаков О.Л., Миненко С.Н., Смирнов Г.Б. Экономико-математическое моделирование: учебно-методическое пособие. – М.: МГИУ, 2006 г. – 136 с.
Кудрявцев Е.М. Сетевое планирование и управление проектами. ДМК, 2006 г.
Миненко С.Н., Казаков О.Л., Подзорова В.Н. Экономико-математическое моделирование производственных систем: Учебно-методическое пособие. – М.: ГИНФО, 2002 г. – 128 с.
Некрасов А.С. Сетевое планирование в энергетике. М: 1986 г.
Организация и планирование автотракторного производства Управление предприятием. Учебное пособие под редакцией А.П. Ковалева и В.И. Козырева. М.: Высшая школа, 1991.
Организация и планирование машиностроительного производства. Учебник под редакцией МИ. Ипатова, В.И. Постникова, М.К. Захаровой. М., Высшая школа: 1988.
Разумов И.М., Белова А.д., Ипатов М.И., Проскуряков Д.В. Сетевые графики в планировании. Учебное пособие. М.: Высшая школа, 1981.
Шепеленко Г.И. Экономика, организация и планирование производств на предприятии.2-е изд. - Ростов-на-Дону: ИЦ МарТ, 2001.









2



R(x)

N(x)

tp(x)

tn(x)