Формула знаменателя геометрической прогрессии
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Геометрическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, каждая из которых, начиная со второй, получается из предыдущей, умножая на то же число q, которое называется знаменателем прогрессии.
Пусть \(\
B=\left\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}, \ldots\right\}
\) - геометрическая прогрессия, \(\
b_{n}
\) - n-й член прогрессии, тогда знаменатель этой прогрессии может быть рассчитан по формуле:
\(\
q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}
\)
Если разность геометрической прогрессии \(\
\mathrm{q}>1
\), то прогрессия будет возрастать, если \(\
|q|<1
\), то прогрессия уменьшается.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Найти знаменатель геометрической прогрессии \(\
\left(b_{n}\right)
\) , если \(\
b_{5}=-6, b_{7}=-54
\)
Express \(\
b_{7}-b_{5}
\) с использованием знаменателя прогрессии q:
\(\
b_{7}=b_{6} \cdot q=\left(b_{5} \cdot q\right) \cdot q=b_{5} \cdot q^{2}
\)
отсюда
\(\
q^{2}=\frac{b_{7}}{b_{5}}=\frac{-54}{-6}=9 \Rightarrow q=\pm 3
\)
ПРИМЕР 2
состоит в том, чтобы найти знаменатель прогрессии. Геометрическая прогрессия определяется следующими соотношениями:
\(\
\left\{\begin{array}{l}{b_{1}+b_{3}=50} \\ {b_{2}+b_{4}=150}\end{array}\right.
\)
Выразите все члены прогрессии через первый член \(\
b_{2}=b_{1} q, b_{3}=b_{1} q^{2}, b_{4}=b_{1} q^{3}
\) и знаменатель q:
\(\
\left\{\begin{array}{l}{b_{1}+b_{1} q^{2}=50} \\ {b_{1} q+b_{1} q^{3}=150}\end{array}\right.
\)
Замените полученные выражения в данной системе:
\(\
\frac{b_{1}+b_{1} q^{2}}{b_{1} q+b_{1} q^{3}}=\frac{50}{150} \Rightarrow \frac{b_{1}+b_{1} q^{2}}{q\left(b_{1}+b_{1} q^{2}\right)}=\frac{1}{3} \Rightarrow q=3
\)
Мы делим первое уравнение на второе и выражаем знаменатель q:
\(\
\frac{b_{1}+b_{1} q^{2}}{b_{1} q+b_{1} q^{3}}=\frac{50}{150} \Rightarrow \frac{b_{1}+b_{1} q^{2}}{q\left(b_{1}+b_{1} q^{2}\right)}=\frac{1}{3} \Rightarrow q=3
\)