Узнать цену работы
Статьи по теме

Как найти проекцию вектора

ФОРМУЛА

Чтобы найти проекцию вектора

\(\ \overline{a} \) на вектор \(\ \overline{b} \), необходимо разделить скалярное произведение этих векторов на длину (модуль) вектора \(\ \overline{b} \) , т.е.

\(\ \Pi_{\mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|} \)

Если векторы заданы на плоскости и имеют координаты \(\ \Pi_{\mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|} \) , то проекция вектора \(\ \overline{a} \) на вектор \(\ \overline{b} \) рассчитывается по формуле:

\(\ \Pi_{\mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}} \)

Если векторы заданы в пространстве, то есть они имеют координаты \(\ \overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)\quad{и}\quad \overline{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right) \) ,то проекция вектора \(\ \overline{a} \text { на } \overline{b} \) вектор рассчитывается по формуле:

\(\ \Pi_{\mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}} \)

ПРИМЕРЫ ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ВЕКТОР

ПРИМЕР

  • Задание: Найти проекцию вектора \(\ \overline{a} \text { на вектор} \overline{b} \) , если \(\ \overline{a}=(-1 ; 0)\quad{и}\quad \overline{b}=(3 ;-4) \)

  • Решение: Чтобы найти проекцию вектора \(\ \overline{a} \text { на вектор} \overline{b} \) , воспользуемся формулой

    \(\ \Pi p_{\overline{b}} \overline{a}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|b|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}} \)

    Подставляя в него координаты указанных векторов, получаем:

    \(\ \Pi \mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|}=\frac{-1 \cdot 3+0 \cdot(-4)}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{-3+0}{\sqrt{9+16}}=\frac{-3}{\sqrt{25}}=-\frac{3}{5} \)

  • Ответ: \(\ \Pi \mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}=-\frac{3}{5} \)

    ПРИМЕР

  • Задание: Найти векторную проекцию \(\ \overline{a}=(-2 ; 3 ; 0) \) на вектор \(\ \overline{b}=(-2 ;-1 ; 5) \)

  • Решение: Подставляя координаты указанных векторов в формулу

    \(\ \Pi \mathrm{p}_{\overline{b}} \overline{a}=\frac{(\overline{a}, \overline{b})}{|\overline{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}} \)

    мы получим:

    \(\ \Pi p_{b} \overline{a}=\frac{(\overline{a}, b)}{|b|}=\frac{-2 \cdot(-2)+3(-1)+0 \cdot 5}{\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+5^{2}}}=\frac{4-3+0}{\sqrt{4+1+25}}=\frac{1}{\sqrt{30}} \)

  • Ответ: \(\ \Pi p_{\overline{b}} \overline{a}=\frac{1}{\sqrt{30}} \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы