Узнать цену работы

Статьи по теме

Координаты вектора. Направляющие косинусы

Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении и длине.

Векторные координаты

Пусть даны прямоугольная декартова система координат (ПДСК) $x O y$ и произвольный вектор $\overset{―}{a}$ , начало которого совпадает с началом координат системы (рис. 1).

Определение

Координаты вектора $\overset{―}{a}$ называются проекциями $a_{x}$ и $a_{y}$ этого вектора на ось $O x$ и $O y$ соответственно:

$a_{x} = П р_{O x} \overset{―}{a}, a_{y} = П р_{O y} \overset{―}{a}$

Значение $a_{x}$ называется абсциссой вектора $\overset{―}{a}$ , а число $a_{y}$ - его ординатой. Дело в том, что вектор $\overset{―}{a}$ имеет координаты $a_{x}$ и $a_{y}$ записывается следующим образом:

$\overset{―}{a} = (a_{x}; a_{y})$

пример

Запись

\overset{―}{a} = (5; - 2)

означает, что вектор

\overset{―}{a}

имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Сумма двух векторов, заданных координатами

Пусть дано $\overset{―}{a} = (a_{x}; a_{y})$ и $\overset{―}{b} = (b_{x}; b_{y})$ , то вектор $\overset{―}{c} = \overset{―}{a} + \overset{―}{b}$ имеет координаты $(a_{x} + b_{x}; a_{y} + b_{y})$ (рис. 2).

Определение

Чтобы найти сумму двух векторов, заданных их координатами, нужно сложить их соответствующие координаты.

пример

Задание. Установлены

\overset{―}{a} = (- 3; 5)

\overset{―}{b} = (0; - 1)

. Найти векторные координаты

\overset{―}{c} = \overset{―}{a} + \overset{―}{b}

Решение.

\overset{―}{c} = \overset{―}{a} + \overset{―}{b} = (- 3; 5) + (0; - 1) = (- 3 + 0; 5 + (- 1)) = (- 3; 4)

Умножить вектор на число

Если он задан $\overset{―}{a} = (a_{x}; a_{y})$ , то вектор $m \overset{―}{a}$ имеет координаты $m \overset{―}{a} = (m a_{x}; m a_{y})$ , здесь $m$ определенное число (рис. 3).

Определение

Чтобы умножить вектор на число, необходимо умножить каждую координату этого вектора на данное число.

пример

Задание. Вектор

\overset{―}{a} = (3; - 2)

. Найти векторные координаты

2 \overset{―}{a}

Решение.

2 \overset{―}{a} = 2 \cdot (3; - 2) = (2 \cdot 3; 2 \cdot (- 2)) = (6; - 4)

Далее рассмотрим случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что две точки $A (a_{x}; a_{y})$ и $B (b_{x}; b_{y})$ даны в ПДСК. Тогда координаты вектора $\overset{―}{A B} = (x_{1}; y_{1})$ находятся по формулам (рис. 4):

$x_{1} = b_{x} - a_{x}, y_{1} = b_{y} - a_{y}$

Определение

Чтобы найти координаты вектора, заданные координатами начала и конца, необходимо вычесть соответствующие координаты начала из координат конца.

пример

Задание. Найти координаты вектора

\overset{―}{A B}

, если

A (- 4; 2), B (1; - 3)

Решение.

\overset{―}{A B} = (1 - (- 4); - 3 - 2) = (5; - 5)

Направляющие косинусы

Определение

Направляющие косинусы вектора называются косинусами углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.

Если вектор определен в пространстве $\overset{―}{a} = (a_{x}; a_{y}; a_{z})$ , то его косинусы рассчитываются по формулам:

$\cos α = \frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}}, \cos β = \frac{a_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}}, \cos γ = \frac{a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}}$

Здесь $α, β$ и $γ$ углы, составляющие вектор с положительными направлениями осей $O x, O y$ и $O z$ соответственно.

Основное свойство направления косинусов

Определение

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

$\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ = 1$

Основное свойство направляющих косинусов, сумма их квадратов равна единице

Если косинусы направления вектора известны $\overset{―}{a} = (a_{x}; a_{y})$ , то его координаты можно найти по формулам:

$a_{x} = | \overset{―}{a} | \cos α, a_{y} = | \overset{―}{a} | \cos β$

Аналогичные формулы имеют место в трехмерном случае - если известны косинусы направления вектора $\overset{―}{a} = (a_{x}; a_{y}; a_{z})$ , то его координаты можно найти по формулам: