Свойства функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция \(\
y=f(x)
\) является правилом, согласно которому значение переменной y присваивается каждому значению переменной \(\
x
\).
Переменная \(\
x
\) является независимой переменной (называемой «аргументом»), а переменная y является зависимой переменной («функция»).
Значения, которые может принимать независимая переменная \(\
x
\), образуют область функции (обозначают \(\
D(f)
\) ), а значения переменной y образуют область значений функции (обозначают \(\
E(f)
\) ).
Существует несколько способов установки функции - аналитической, табличной, графической.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Графом функции является множество точек плоскости с координатами \(\
(x, f(x))
\) . Для построения графика функция должна быть исследована, и для этого необходимо знать свойства функции.
1. Четность и нечетные функции.
Функция \(\
f(x)
\) вызывается, даже если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого \(\
x
\) из области функции
\(\
f(-x)=f(x)
\)
Граф четной функции симметричен относительно оси \(\
O y
\) .
Функция \(\
f(x)
\) называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из области функции
\(\
f(-x)=-f(x)
\)
Граф четной функции симметричен относительно начала координат.
Если ни одно из условий \(\
f(-x)=f(x)
\), \(\
f(-x)=-f(x)
\) не выполняется, то функция называется ни четной, ни нечетной (или функцией общего вида).
ПРИМЕР
\(\
f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)
\)
Так что эта функция четная.
2. Периодичность функции.
Функция называется периодической, если существует ненулевое число \(\
T
\) такое, что \(\
f(x)=f(x+T)
\) для любого x в области функции.
ПРИМЕР
Функция \(\
f(x)=\sin x
\) периодична, так как
\(\
f(x+2 \pi)=\sin (x+2 \pi)=\sin x
\)
Период этой функции \(\
T=2 \pi
\)
Заметим, что все тригонометрические функции являются периодическими.
3. Монотонность (возрастание, убывание) функции.
Функция называется возрастающей на некотором интервале, если для любого \(\
x_{1}
\), \(\
x_{2}
\) этого интервала такой, что \(\
x_{1}>x_{2}
\) ,выполняется неравенство
\(\
f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)
\)
Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любого \(\
x_{1}
\), \(\
x_{2}
\) этого интервала такое, что выполнено \(\
x_{1} < x_{2}
\)
\(\
f \ left (x_{1} \ right) > f \ left (x_{2} \ right)
\)
4. Экстремумы функции.
Точка \(\
x_{0}
\) называется точкой максимума функции \(\
f(x)
\) , если для всех \(\
x
\) из некоторой окрестности этой точки выполнено \(\
f\left(x_{0}\right)>f(x)
\) . Значение \(\
y_{0}=f\left(x_{0}\right)
\) называется максимумом этой функции.
Точка \(\
x_{0}
\)называется точкой минимума функции \(\
f(x)
\) , если \(\
f\left(x_{0}\right) < f(x)
\) выполняется для всех х из некоторой окрестности. Значение \(\
f(x)
\) называется минимумом этой функции.
Чтобы исследовать функцию \(\
y_{0}=f\left(x_{0}\right)
\) на экстремуме, необходимо:
Найти производную \(\
f^{\prime}(x)
\) .
Найдите значения \(\
x
\), в которых \(\
f^{\prime}(x)=0
\) или \(\
f^{\prime}(x)
\) не существует (найдите критические точки).
Исследуйте знак производной слева и справа от каждой критической точки.
Найти значение функции в экстремальных точках.
5. Нули функции.
Функция \(\
0
\) - это значение аргумента \(\
x_{0}
\) , при котором значение функции \(\
f\left(x_{0}\right)
\) равно нулю.
ПРИМЕР 1
\(\
f(-x)=(-x)^{4}+2 \cos (-3 x)+(-x)^{2}-5=x^{4}+2 \cos 3 x+x^{2}-5=f(x)
\)
Так как \(\
f(-x)=f(x)
\) функция четная.
ПРИМЕР 2
\(\
f^{\prime}(x)=2 x+6=0 \Rightarrow x=-3
\)
Производная функции определена во всех точках, поэтому мы имеем одну критическую точку \(\
x=-3
\). Отметьте его на числовой строке и определите знак производной справа и слева от нее
При переходе через точку \(\
x=-3
\) производная изменила свой знак с «-» на «+», поэтому функция достигает своего минимума в этой точке. Найти значение функции в этой точке:
Точка с координатами \(\
(-3,-14)
\) является точкой минимума.