Таблица производных

\begin{array}{cc} 1. c^{'} = 0, c = c o n s t & 11. (ctg x)^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x} \\ 2. (x^{n}) = n x^{n - 1} & 12. (\arcsin x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\ 3. {(a^{x})}^{'} = a^{x} \cdot \ln a & 13. (\arccos x)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\ 4. {(e^{x})}^{'} = e^{x} & 14. (arctg x)^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}} | \\ 5. {(\log_{a} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln a} & 15. (arcctg x)^{'} = - \frac{1}{1 + x^{2}} \\ 6. (\ln x)^{'} = \frac{1}{x} & 16. (sh x)^{'} = ch x \\ 7. (\sin x)^{'} = \cos x & 17. (ch x)^{'} = sh x \\ 8. (\cos x)^{'} = - \sin x & 18. (th x)^{'} = \frac{1}{{ch}^{2} x} \\ 9. (\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} & 19. (cth x)^{'} = - \frac{1}{{sh}^{2} x} \\ 10. (tg x)^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x} \end{array}

Пример 1

Задача

Найти производную от функции $y = x^{2} + 4$

Решение

Требуемая производная $y^{'} = {(x^{2} + 4)}^{'}$

В соответствии с правилами дифференциации (нахождение производной) производная суммы равна сумме производных, т. е. $y^{'} = {(x^{2})}^{'} + (4)^{'}$

Производная от первого члена определяется как производная от силовой функции (формула № 2 в таблице производных), а вторая - как производная от константы (формула № 1 в таблице):

$y^{'} = {(x^{2})}^{'} + (4)^{'}$

Ответ $y^{'} = 2 x$

ПРИМЕР 2

Задача

Найти производную от функции $y = \cos x - \ln x$

Решение

Разделим данную функцию: $y^{'} = (\cos x - \ln x)^{'}$

Производная от разности равна разности производных: $y^{'} = (\cos x)^{'} - (\ln x)^{'}$

Производная косинуса равна минус синус (формула № 8 в таблице производных), а производная от натурального логарифма определяется по формуле № 6 из таблицы. Мы получаем:

$y^{'} = - \sin x - \frac{1}{x}$