Теорема тангенсов

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\mathrm{ABC}$, в котором $\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$ , $\mathrm{\angle }B={30}^{\circ }$, $\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$, $\mathrm{\angle }B={30}^{\circ }$ . Пусть гипотенуза $\mathrm{BC}=\mathrm{a}$, а катет $\mathrm{AC}=\mathrm{b}$. Запишем теорему тангенсов для этого треугольника:

$\frac{BC-AC}{BC+AC}=\frac{\mathrm{tg}\left(\frac{A-B}{2}\right)}{\mathrm{tg}\left(\frac{A+B}{2}\right)}$

или

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{tg}\left(\frac{{90}^{\circ }-{30}^{\circ }}{2}\right)}{\mathrm{tg}\left(\frac{{90}^{\circ }+{30}^{\circ }}{2}\right)}=\frac{\mathrm{tg}{30}^{\circ }}{\mathrm{tg}{60}^{\circ }}=\frac{1}{3}$

Получили, что $\frac{a-b}{a+b}=\frac{1}{3}$ или $3(a-b)=a+b$ откуда

$a=2b$

Таким образом, гипотенуза $\mathrm{BC}$ в два раза больше катета $\mathrm{AC}$

ПРИМЕР 2

В треугольнике ABC стороны $\mathrm{BC}=2\mathrm{с}\mathrm{м}$, $\mathrm{AC}=1\mathrm{с}\mathrm{м}$, а $\mathrm{\angle }C={60}^{\circ }$.

Найти остальные углы треугольника.

Введем обозначения: $\mathrm{BC}=\mathrm{a}$

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }B}{2}}{\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B}{2}}$

Запишем теорему тангенсов для этого треугольника

${180}^{\circ }$

Так как сумма углов любого треугольника равна $\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }C={180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$ , то $\frac{2-1}{2+1}=\frac{\mathrm{tg}\mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }B}{\mathrm{tg}\frac{{120}^{\circ }}{2}}$

Таким образом, равенство будет иметь вид

$\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }B}{2}=\frac{1}{3}\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$

откуда

$\frac{\mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }B}{2}={30}^{\circ }$

Из последнего равенства следует, что $\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B={120}^{\circ }$ . Учитывая также, что $\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$ получаем $\mathrm{\angle }C={30}^{\circ }$