Векторное произведение векторов

Определение

Векторное произведение ненулевых векторов

$\bar{a}$ и $\bar{b}$ называется вектором $\bar{c}$, обозначаемым символом $[\bar{a},\bar{b}]$ или $\bar{a}\times \bar{b}$ , длина которого $|\bar{c}|=|\bar{a}||\bar{b}|\sin (\bar{a},\bar{b})$ (рис. 1).

1. $[\bar{a},\bar{b}]=\bar{0}$ если и только если $\bar{a}\Vert \bar{b}$

2. $[\bar{a},\bar{b}]=-[\bar{b},\bar{a}]$

3. Модуль векторного произведения $|[\bar{a},\bar{b}]|$ равен площади параллелограмма, построенного на указанных векторах $\bar{a}$ и $\bar{b}$ (рис. 2), т.е.

$S=|[\bar{a},\bar{b}]|=|\bar{a}|\bar{b}|\sin (\bar{a},\bar{b})$

4.$[\lambda \bar{a},\bar{b}]=[\bar{a},\lambda \bar{b}]=\lambda [\bar{a},\bar{b}]$

5.$[{\bar{a}}_1+{\bar{a}}_2,\bar{b}]=[{\bar{a}}_1,\bar{b}]+[{\bar{a}}_2,\bar{b}];[\bar{a},{\bar{b}}_1+{\bar{b}}_2]=[\bar{a},{\bar{b}}_1]+[\bar{a},{\bar{b}}_2]$

Если векторы задаются своими координатами $\bar{a}=(a_1;a_2;a_3),\bar{b}=(b_1;b_2;b_3)$ то векторное произведение находится по формуле:

$[\bar{a},\bar{b}]=\left|\begin{array}{lll}\bar{i}& \bar{j}& \bar{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|$

Пример