Высота треугольника
Определение и формула высоты треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Высота треугольника, взятого из заданной вершины, называется перпендикуляром, отброшенным от этой вершины к противоположной стороне или ее продолжению.
Свойства высоты треугольника
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
В равнобедренном треугольнике высота, опускаемая до основания, является медианной и биссектрисой.
В правильном треугольнике все высоты являются медианами и биссектрисами.
В остром треугольнике высоты зажимаются внутри треугольника; в тупой - вне треугольника; в прямоугольном - в верхней части правого угла.
В правом треугольнике ноги - это высоты.
В прямоугольном треугольнике высота, занимаемая вершиной правого угла, разбивает ее на два треугольника, аналогичные оригинальному.
В остром треугольнике его две высоты отсекают от него аналогичные треугольники.
Формула для расчета высоты
\(\
h_{a}=\frac{2 S}{a}
\)
где \(\
h_{a}
\) - высота, опущенная в сторону a, \(\
\mathrm{S}
\) - площадь треугольника.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
В треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) высота, опущенная из вершины \(\
\mathrm{B}
\), делит сторону \(\
\mathrm{AC}
\) на 3 см и 4 см отрезков. Найдите высоту \(\
\mathrm{BK}
\), если известно, что \(\
\angle A=30^{\circ}
\)
Давайте сделаем рисунок.
В треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\)(рис.1) из вершины \(\
\mathrm{B}
\) мы понижаем высоту \(\
\mathrm{BK}
\), которая делит сторону \(\
\mathrm{AC}
\) на части \(\
\mathrm{AK = 3 см}
\) и \(\
\mathrm{KC = 4 см}
\). Рассмотрим правый треугольник \(\
\mathrm{ABK}
\) с прямым углом\(\
\mathrm{K}
\) и \(\
\angle A=30^{\circ}
\) . Найти \(\
\mathrm{BK}
\):
\(\
B K=A K \cdot \operatorname{tg} \angle A=3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}
\) см.
\(\
B K=4 \sqrt{2}
\)см.
ПРИМЕР 2
В прямоугольном треугольнике A\(\
\mathrm{ABC}
\), ноги 6 см и 8 см. Найдите высоту \(\
\mathrm{BK}
\), опущенную на гипотенузу \(\
\mathrm{AC}
\).
Пусть нога \(\
\mathrm{AB = 6 см}
\), а \(\
\mathrm{BC = 8 см }
\)(рис.2). Тогда по теореме Пифагора
\(\
A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=\sqrt{36+64}=10
\)см
Площадь правого треугольника равна половине произведения ног, т. Е.
\(\
S=\frac{1}{2} A B \cdot B C=24 \mathrm{cm}^{2}
\)
Высота \(\
\mathrm{BK}
\)найти формулу
\(\
B K=\frac{2 S}{A C}=\frac{2 \cdot 12}{10}=2,4 \mathrm{cm}
\)
\(\
\mathrm{BK}=2.4
\)см.